湖北省2020届高三第二次联考数学试题（理科）

湖北省八校 黄冈中学 黄石二中 华师一附中 荆州中学 孝感高中 襄樊四中 襄樊五中 鄂南高中 2020 届 高 三 第 二 次 联 考数学试题（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1成立的充要条件是（ ）A B C且 D或2设复数，（），若为实数，则等于（ ）A-2B-1C1D23已知、是不共线的向量，则、 三点共线的充要条件是：（ ）ABC D4设映射是实数集M到实数集P的映射，若对于实数，在M中不存在原象，则的取值范围是（ ）A B C D5等差数列中，是其前项和，则的值为（ ）A-2020B2020C-2020D20206已知函数（）（其中是自然对数的底数）的反函数为，则有（ ）A BC D7要从名女生和名男生中选出名学生组成课外兴趣小组，如果按性别依比例分层随机抽样，则组成此课外兴趣小组的概率为（ ）A B C D8半径为1的球面上有A，B，C三点，其中点A与B、C两点间的球面距离均为，B、C两点间的球面距离为，则球心到平面的距离为（ ）A B C D9已知函数，对定义域内的任意，都满足条件若，则有（ ）A B C D10已知，若方程的两个实数根可以分别作为一个椭圆和双曲线的离心率，则（ ）A B C D二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11设实数、满足，则的取值范围是_.12设是的展开式中项的系数（、），则_.13已知函数为偶函数，且满足不等式，则的值为_.14在中，以点为一个焦点作一个椭圆，使这个椭圆的另一个焦点在边上，且这个椭圆过、两点，则这个椭圆的焦距长为_.15设、依次是的角、所对的边，若，且，则_.三、解答题（本大题共6小题，共75分）16（本小题满分12分）已知向量，（，）.函数，的图象的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为，且过点. （）求函数的表达式； （）当时，求函数的单调区间。17（本小题满分12分）20202016在某社区举办的2020奥运知识有奖问答比赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关奥运知识的问题，已知甲回答对这道题对的概率是，甲、丙两人都回答错的概率是，乙、丙两人都回答对的概率是. （）求乙、丙两人各自回答这道题对的概率； （）用表示回答对该题的人数，求的分布列和数学期望.18（本小题满分12分）如图，已知正三棱柱各棱长都为，为棱上的动点。 （）试确定的值，使得； （）若，求二面角的大小； （）在（）的条件下，求点到面的距离。19（本小题满分12分）已知函数. （）求函数的单调区间和极值； （）若对满足的任意实数恒成立，求实数的取值范围（这里是自然对数的底数）； （）求证：对任意正数、，恒有.20（本小题满分13分）如图，已知曲线与抛物线的交点分别为、，曲线和抛物线在点处的切线分别为、，且、的斜率分别为、. （）当为定值时，求证为定值（与无关），并求出这个定值； （）若直线与轴的交点为，当取得最小值时，求曲线和的方程。2020201621（本小题满分14分）已知数列中，其前项和满足.令.（）求数列的通项公式；（）若，求证：（）；（）令（），求同时满足下列两个条件的所有的值：对于任意正整数，都有；对于任意的，均存在，使得时，参考答案题 号12345678910答 案11； 12； 13或或； 14； 15.16【解】（）3由题意得周期，故.4又图象过点，即，而，6 （）当时，当时，即时，是减函数当时，即时，是增函数函数的单调减区间是，单调增区间是1217【解】（）记“甲回答对这道题”、“ 乙回答对这道题”、“丙回答对这道题”分别为事件、，则，且有，即，.6 （）由（），.的可能取值为：、.则；.9的分布列为的数学期望.1218【法一】（）当时，作在上的射影. 连结.则平面，是的中点，又，也是的中点，即. 反之当时，取的中点，连接、.为正三角形，. 由于为的中点时，平面，平面，.4 （）当时，作在上的射影. 则底面.作在上的射影，连结，则.为二面角的平面角。又，.，又，.，的大小为.8 （）设到面的距离为，则，平面,即为点到平面的距离，又，.即，解得.即到面的距离为.12【法二】以为原点，为轴，过点与垂直的直线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设，则、.（）由得，即，即为的中点，也即时，.4 （）当时，点的坐标是. 取.则，.是平面的一个法向量。又平面的一个法向量为.，二面角的大小是.8 （）设到面的距离为，则，到面的距离为.1219【解】（）的增区间为，减区间为和.极大值为，极小值为.4 （）原不等式可化为由（）知，时，的最大值为.的最大值为，由恒成立的意义知道，从而8 （）设则.当时，故在上是减函数，又当、是正实数时，.由的单调性有：，即.1220【解】（）设点的坐标为，曲线的方程可写成：，2又4为定值。6 （）如图设点的坐标为，则.由（）知：，则直线.过点，则，即，点.8将代入曲线的方程得.由重要不等式得.10当且仅当“”成立时，有，解得，.1321【解】（）由题意知即12检验知、时，结论也成立，故.3 （）由于故.6 （）（）当时，由（）知：，即条件