河北省沙城中学补习班高三数学第一轮复习第22讲教案：等差等比数列综合

沙城中学补习班数学第一轮复习教案第二十二讲 36等差等比数列综合一知识网络1.等差、等比数列是两种最基本、最常见的数列，灵活地运用等差、等比数列的性质，能使问题简化；2.从等差、等比数列中按某种规律，抽取某些项，依次组成一个等比数列，是等差、等比数列综合题中的较重要的类型，要认真体会.3.用函数的观点和方法揭示等差数列和等比数列的特征，在分析和解决有关数列的综合题中具有重要的意义.4.等差数列的补充性质 （2）若a10，d0，Sn有最大值，可由不等式组来确定n。若a10，Sn有最小值，可由不等式组来确定。5.等比数列的补充性质二、经典例题【例1】（2020北京海淀模拟）在等比数列an（nN*）中，a11，公比q0.设bn=log2an，且b1+b3+b5=6，b1b3b5=0.（1）求证：数列bn是等差数列；（2）求bn的前n项和Sn及an的通项an；（3）试比较an与Sn的大小.剖析：（1）定义法即可解决.（2）先求首项和公差及公比.（3）分情况讨论.（1）证明：bn=log2an，bn+1bn=log2=log2q为常数.数列bn为等差数列且公差d=log2q.（2）解：b1+b3+b5=6，b3=2. a11，b1=log2a10. b1b3b5=0，b5=0. 解得 Sn=4n+（1）=. an=25n（nN*）.（3）解：显然an=25n0，当n9时，Sn=0. n9时，anSn.a1=16，a2=8，a3=4，a4=2，a5=1，a6=，a7=，a8=，S1=4，S2=7，S3=9，S4=10，S5=10，S6=9，S7=7，S8=4，当n=3，4，5，6，7，8时，anSn；当n=1，2或n9时，anSn.评述：本题主要考查了数列的基本知识和分类讨论的思想.【例2】（2002春北京）已知点的序列An（xn，0），n*，其中xl0，x2a（a0），A3是线段AlA2的中点，A4是线段A2A3的中点，An是线段An2An1的中点，.（1）写出xn与xn1、xn2之间的关系式（n）；（2）设anxn1xn，计算al，a2，a3，由此推测数列an的通项公式，并加以证明.解：（1）当n3时，xn=.（2）a1=x2x1=a，a2=x3x2=x2=（x2x1）=a，a3=x4x3=x3=（x3x2）=（a）=a，由此推测：an=（）n1a（nN*）.证明如下：因为a1=a0，且an=xn+1xn=xn=（xnxn1）=an1（n2），所以an=（）n1a.【例3】 已知f（x）=（+）2（x0），又数列an（an0）中，a1=2，这个数列的前n项和的公式Sn（nN*）对所有大于1的自然数n都有Sn=f（Sn1）.（1）求数列an的通项公式；（2）若bn=（nN*），求证（b1+b2+bnn）=1.解：（1）f（x）=（+）2， Sn=（+）2.=.又=， 故有=+（n1）=n，即Sn=2n2（nN*）. 当n2时，an=SnSn1=2n22（n1）2=4n2；当n=1时，a1=2，适合an=4n2. 因此，an=4n2（nN*）.（2）bn=1+， b1+b2+b3+bnn=1.从而（b1+b2+bnn）=（1）=1.温馨提示:由于已知条件给出的是Sn与Sn1的函数关系，求出Sn就可求出an. 【研讨.欣赏】已知an是首项为2，公比为的等比数列，Sn为它的前n项和，用Sn表示Sn+1；（2）是否存在自然数c和k，使得成立。 解：（1） （2）（*） 式（*） Sk+1Sk 又Sk4 由得：c=2或c=3当c=2时 S1=2 k=1时，cSk不成立，从而式不成立 由SkSk+1得： 当k2时，从而式不成立 当c=3时，S12，S2=3 当k=1，2时，CSk不成立 式不成立 当k3时，从而式不成立综上所述，不存在自然数c，k，使成立三、双基题目练练手1.已知数列an满足an+2=an（nN*），且a1=1，a2=2，则该数列前2020项的和为（ ）A.0 B.3 C.3 D.1 2.若关于x的方程x2x+a=0和x2x+b=0（ab）的四个根可组成首项为的等差数列，则a+b的值是（ ） A. B. C. D.3. (2020湖北)若互不相等的实数a、b、c成等差数列，c、a、b成等比数列，且a+3b+c=10，则a= （ ） A.4 B.2 C.-2 D.-44.若数列an前8项的值各异，且an+8=an对任意的nN*都成立，则下列数列中，能取遍数列an前8项值的数列是（ ） A.a2k+1 B.a3k+1 C.a4k+1 D.a6k+15.（2020春上海）在等差数列an中，当ar=as（rs）时，数列an必定是常数列，然而在等比数列an中，对某些正整数r、s（rs），当ar=as时，非常数列an的一个例子是_.6.（2020北京）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它后一项的和都为同一常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。已知数列 an为等和数列，且a1 =2，公和为5，那么a18的值为_，这个数列的前n项和的计算公式为_.简答:1-4.CDDB;1.由题意，隔项成等比数列,公比为-1, a1+a2+a3+a4=0.S2020=3.2.依题意设四根分别为a1、a2、a3、a4，公差为d，a1=，a1+a2+a3+a4=1+1=2.又a1+a4=a2+a3，所以a1+a4=a2+a3=1.a4=，d=，a2=，a3=.故a+b=a1a4+a2a3=.答案：D4.当k分别取1，2，3，4，5，6，7，8时，a3k+1分别与数列中的第4项，第7项，第2项，第5项，第8项，第3项，第6项，第1项相等，故a3k+1能取遍前8项.答案：B5.只需选取首项不为0，公比为1的等比数列.答案：a，a，a