河北省沙城中学补习班高三数学第一轮复习第23讲教案：数列极限

沙城中学补习班数学第一轮复习教案第二十四讲 111 数列极限一、知识网络1数列极限的定义：一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列an的项an无限地趋近于某个常数a（即|ana|无限地接近于0），那么就说数列an以a为极限注：a不一定是an中的项2几个常用的极限：C=C（C为常数）; =0; qn=0（|q|1）无穷等比数列an,当公比q满足|q|1时,前n项和的极限称之为“各项和”或“所有项的和”3数列极限的四则运算法则：设数列an、bn，当an=a, bn=b时， （anbn）=ab; （anbn）=ab; =（b0）说明: 极限的四则运算法则,只适合于有限次的四则运算对于数列前n项和的极限,必须先求和,再取极限二、经典例题【例1】 求下列极限：（1）; （2） （n）;（3）（+）分析:（1）因为分子分母都无极限，故不能直接运用商的极限运算法则，可通过变形分子分母同除以n2后再求极限；（2）因与n都没有极限，可先分子有理化再求极限；（3）因为极限的运算法则只适用于有限个数列，需先求和再求极限解:（1）=（2） （n）= =（3）原式=（1+）=1特别提示:对于（1）要避免下面两种错误：原式=1,（2n 2+n+7）, （5n2+7）不存在，原式无极限对于（2）要避免出现下面两种错误： （n）= n=0;原式=n=不存在对于（3）要避免出现原式=+=0+0+0=0这样的错误【例2】 已知数列an是由正数构成的数列，a13，且满足lganlgan1lgc，其中n是大于1的整数，c是正数（1）求数列an的通项公式及前n和Sn；（2）求的值解:（1）由已知得anan1,an是以a13，公比为c的等比数列，则an3n1Sn（2） 当c=2时，原式;当2时，原式;当02时，原式=评述:求数列极限时要注意分类讨论思想的应用【例3】 已知直线l:xny=0（nN *）,圆M:（x+1）2+（y+1）2=1,抛物线:y=（x1）2,又l与M交于点A、B，l与交于点C、D，求分析:要求的值，必须先求它与n的关系解:设圆心M（1,1）到直线l的距离为d,则d2=又r=1,|AB|2=4（1d2）=设点C（x1,y1）, D（x2,y2），由nx2（2n+1）x+n=0,x1+x2=, x1x2=1（x1x2）2=（x1+x2）24x1x2=,（y1y2）2=（）2=,|CD|2=（x1x2）2+（y1y2）2=（4n+1）（n2+1）=2评述:本题属于解析几何与数列极限的综合题要求极限，需先求,这就要求掌握求弦长的方法【例4】若数列an的首项为a1=1,且对任意nN*,an与an+1恰为方程x2bnx+cn=0的两根,其中0|c|1,当（b1+b2+bn）3时,求c的取值范围解:首先,由题意对任意nN*,anan+1=cn恒成立=c又a1a2=a2=ca1,a3,a5,a2n1,是首项为1,公比为c的等比数列,a2,a4,a6,a2n,是首项为c,公比为c的等比数列其次,由于对任意nN*,an+an+1=bn恒成立=c又b1=a1+a2=1+c,b2=a2+a3=2c,b1,b3,b5,b2n1,是首项为1+c,公比为c的等比数列,b2,b4,b6,b2n,是首项为2c,公比为c的等比数列, （b1+b2+b3+bn）= （b1+b3+b5+）+ （b2+b4+）=+3解得c或c10|c|1,0c或1c0故c的取值范围是（1,0）（0,提炼方法: 本题的解题目标是将题设中的极限不等式转化为关于c的不等式,即将bn的各项和表示为关于c的解析式;关键是对数列特点的分析和运用;显然“起点”应是一元二次方程根与系数的关系【研讨欣赏】在大沙漠上进行勘测工作时,先选定一点作为坐标原点,然后采用如下方法进行:从原点出发,在x轴上向正方向前进a（a0）个单位后,向左转90,前进a r （0r1个单位,再向左转90,又前进a r2个单位,如此连续下去（1）若有一小分队出发后与设在原点处的大本营失去联系,且可以断定此小分队的行动与原定方案相同,则大本营在何处寻找小分队?（2）若其中的r为变量,且0r1,则行动的最终目的地在怎样的一条曲线上?剖析：（1）小分队按原方案走,小分队最终应在运动的极限位置（2）可先求最终目的地关于r的参数形式的方程解:（1）由已知可知即求这样运动的极限点,设运动的极限位置为Q（x,y）,则x=aar2+ar4=, y=arar3+ar5=,大本营应在点（,）附近去寻找小分队（2）由消去r得（x）2+y2=（其中x,y0）,即行动的最终目的地在以（,0）为圆心,为半径的圆上三、双基题目1下列极限正确的个数是=0（0） qn=0 =1 C=C（C为常数）A2 B 3 C4 D都不正确2 等于( ) A 1 B C D 03 已知a、b、c是实常数，且=2, =3,则的值是A2 B3 C D64 。5 将无限循环小数化为分数是_6 =_简答:1-3BBD；3由=2,得a=2b由=3,得b=3c,c=b=6= =6 4 分子先求和,再求极限5 =012+00012+=012/(1001) =4/33 6 1四提炼总结以为师1 极限的四则运算法则只用于有限次的运算,对于n项和的极限,要先求和再求极