湖南省宁乡一中、攸县一中2020届高三数学4月联考试题 理（含解析）

宁乡一中、县一中2020年四月高三联考试题理科数学一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】解出集合B，再由集合间的交集运算得到结果即可.【详解】由题可知集合，则.故答案为：C.【点睛】这个题目考查了集合的交集的运算，属于基础题.2.已知复数，则复数的虚部为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先化简复数,再根据虚部定义得结果.【详解】因为,所以复数的虚部为，选A.【点睛】本题考查复数除法运算以及虚部定义，考查基本求解能力，属基础题.3.微信运动，是由腾讯开发的一个类似计步数据库的公众账号.用户可以通过关注微信运动公众号查看自己每天或每月行走的步数，同时也可以和其他用户进行运动量的或点赞.加入微信运动后，为了让自己的步数能领先于朋友，人们运动的积极性明显增强，下面是某人2020年1月至2020年11月期间每月跑步的平均里程（单位：十公里）的数据，绘制了下面的折线图.根据折线图，下列结论正确的是（ ）A. 月跑步平均里程的中位数为月份对应的里程数B. 月跑步平均里程逐月增加C. 月跑步平均里程高峰期大致在、月D. 月至月的月跑步平均里程相对于月至月，波动性更小，变化比较平稳【答案】D【解析】【分析】根据折线图估计中位数、确定增减性、估计最大值，研究稳定性，即可确定选项.【详解】根据折线图得中位数为月份对应的里程数；月跑步平均里程在1月、月、7月10月减少，月跑步平均里程高峰期大致在月；月至月的月跑步平均里程相对于月至月，波动性更小，变化比较平稳，所以选D.【点睛】本题考查根据折线图估计相关数据，考查基本分析判断能力，属基础题.4.已知向量，且，则实数（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用两个向量平行的充要条件计算即可.【详解】易知，因为，所以，解得：，故选：B【点睛】利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用 解答；（2）两向量垂直，利用 解答.5.已知，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据诱导公式以及二倍角余弦公式求解.【详解】设,则，,选C.【点睛】本题考查诱导公式以及二倍角余弦公式，考查基本分析判断能力，属基础题.6.函数的部分图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先根据函数值舍去B，再根据函数值舍去D，最后根据上单调性确定选A.【详解】因为,所以舍去B，因为，所以舍去D，因为时，因此选A.【点睛】本题考查函数图象与函数单调性，考查基本分析判断能力，属基础题.7.阅读程序框图，该算法的功能是输出（ ）A. 数列的第项B. 数列的第项C. 数列的前项的和D. 数列的前项的和【答案】A【解析】【分析】执行循环，根据输出值确定选项.【详解】执行循环，结束循环，输出即为数列的第项，选A.【点睛】本题考查循环结构流程图，考查基本分析判断与求解能力，属基础题.8.某几何体的三视图如图所示，其中正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的表面积为A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据三视图知该几何体是棱长为4的正方体截去一个圆柱体，结合图中数据求出它的表面积【详解】解：根据三视图知，该几何体是棱长为4的正方体，截去一个圆柱体，如图所示；结合图中数据，计算该几何体的表面积为故选：D【点睛】本题考查了利用三视图求简单组合体的表面积应用问题，是基础题9.已知点是直线上的动点，由点向圆引切线，切点分别为，且，若满足以上条件的点有且只有一个，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：先分析得到四边形PMON是正方形，再分析出，再根据点到直线的距离求出b的值.详解：由题得,四边形PMON是正方形，|PO|=,满足以上条件的点有且只有一个，.故选B.点睛：本题的关键是对已知条件的分析转化，首先要分析出四边形PMON是正方形，再分析出，再根据点到直线的距离求出b的值.10.古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段分为两线段、，使得其中较长的一段是全长与另一段的比例中项，即满足.后人把这个数称为黄金分割，把点称为线段的黄金分割点，图中在中，若点，为线段的两个黄金分割点，在内任取一点，则点落在内的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据几何概型概率求解.测度为面积.【详解】由题意得所求概率为几何概型概率，测度为面积.即所求概率为选B.【点睛】本题考查几何概型概率，考查基本分析求解能力，属基础题.11.已知抛物线的焦点为F，点是抛物线C上一点，圆M与线段MF相交于点A，且被直线截得的弦长为，若，则A. B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】由题意：M（x0，22）在抛物线上，则8=2px0，则px0=4，由抛物线的性质可知,， ，则，被直线截得的弦长为3|MA|，则，由，在RtMDE中，丨DE丨2+丨DM丨2=丨ME丨2，即，代入整理得： ，由，解得：x0=2，p=2， ，故选：B【点睛】本题考查抛物线的简单几何性质，考查了抛物线的定义，考查勾股定理在抛物线的中的应用，考查数形结合思想,转化思想，属于中档题，将点A到焦点的距离转化为点A到其准线的距离是关键.12.若关于x的不等式成立，则的最小值是A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】构造函数，利用函数图象的性质，借助数形结合，确定最小值，即可得到答案【详解】令，函数单调递增，函数单调递减，且时，绘制函数的图象如图所示，满足题意时，直线恒不在函数图象的下方，很明显时不合题意，当时，令可得：，故取到最小值时，直线在x轴的截距最大，令可得：，据此可得：的最小值是故选：A【点睛】本题主要考查了导函数研究函数图象的性质及其应用，其中解答合理利用导数得出函数的单调性，刻画处函数的性质上解答的关键，着重考查了数形结合的数学思想，等价转化的数学思想等知识，属于中等题二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13.二项式的展开式中含的项的系数是_.【答案】【解析】【分析】根据二项展开式通项公式确定含的项的项数，进而确定含的项的系数.【详解】因为，所以令得因此含的项的系数为【点睛】本题考查二项展开式的项的系数，考查基本分析求解能力，属基础题.14.设，满足约束条件，则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】先作可行域，再根据目标函数所表示的直线，结合图象确定最优解.【详解】作可行域，如图，则直线过点A(1.1)时取最小值【点睛】本题考查线性规划求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.15.中，角，所对的边分别为，已知，则_.【答案】【解析】【分析】根据正弦定理化边为角，再根据二倍角正弦公式得结果.【详解】因为，所以,因为，所以,因为，所以【点睛】本题考查正弦定理以及二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题.16.我们常用以下方法求形如函数的导数：先两边同取自然对数，再两边同时求导得 ，于是得到，运用此方法求得函数的单调递减区间是_.【答案】【解析】【分析】根据题中的方法先求函数导数，再解不等式得减区间.【详解】因为，所以, 两边同时求导得,因此，由，得,即单调递减区间是.【点睛】本题考查利用导数求单调区间，考查基本分析求解能力，属基础题.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知正项等比数列中，且成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据条件求公比，再代入等比数列通项公式得结果，（2）先化简，再根据裂项相消法求.【详解】解：（1）设正项等比数列的公比为因为，成等差数列，所以，得，则，即，又所以.又，故数列的通项公式（2）由（1）知， 所以 则 【点睛】本题考查等比数列通项公式以及裂项相消法求和，考查基本分析求解能力，属基础题.18.如图，在四边形中，点在上，且，现将沿折起，使点到达点的位置，且与平面所成的角为，（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析； （2）.【解析】【分析】（1）根据折叠前后关系得PCCD，根据平几知识得BE/CD，即得PCBE，再利用线面垂直判定定理得EB平面PBC，最后根据面面垂直判定定理得结论，（2）先根据线面角得PBE为等腰直角三角形，再取BC的中点O，证得PO平面EBCD，建立空间直角坐标系，设立各点坐标，列方程组解得各面法向量，根据向量数量积得向量夹角，最后根据向量夹角与二面角关系得结果.【详解】（1）证明：ABCD，ABBE，CD/EB，ACCD，PCCD，EBPC，且PCBC=C，EB平面PBC，又EB平面DEBC，平面PBC 平面DEBC； （2）由（1）知EB平面PBC，EBPB，由PE与平面PBC所成的角为45得EPB=45， PBE为等腰直角三角形，PB=EB， AB/DE，结合CD/EB 得BE=CD=2，PB=2，故PBC为等边三角形， 取BC的中点O，连结PO， POBC，PO平面EBCD， 以O为坐标原点，过点O与BE平行的直线为x轴，CB所在的直线为y轴，OP所在的直线为z轴建立空间直角坐标系如图， 则， 从而, ，设平面PDE的一个法向量为，平面PEB的一个法向量为，则由得，令得，由得 ，令得，设二面角D-PE-B的大小为，则，即二面角D-PE-B的余弦值为. 【点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.19.已知椭圆的两焦点分别为，其长轴长为.（1）求椭圆的方程；（2）设点，若直线与椭圆相交于两点，且与的斜率之和为，求实数的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据条件求得，即得，（2）设，化简，再联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理代入化简可得【详解】解：（1）由题意可得，故，可得椭圆方程为；（2）设，.联立得，化简，得， 将，代入上式得，满足【点睛】本题考查直线与椭圆位置关系，考查基本分析求解能力，属中档题.20.近期，长沙市公交公司推出“湘行一卡通”扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，乘客只需利用手机下载“湘行一卡通”，再通过扫码即可支付乘车费用.相比传统的支付方式，扫码支付方式极为便利，吸引了越来越多的人使用扫码支付，某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用表示活动推出的天数，表示每天使用扫码支付的人次（单位：十人次），统计数据如下表所示：根据以上数据，绘制了散点图.（1）根据散点图判断，在推广期内，与（，均为大于零的常数）哪一个适宜作为扫码支付的人次关于活动推出天数的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；（2）根据（1）的判断结果及表中的数据，建立关于的回归方程，并预测活动推出第天使用扫码支付的人次；（3）推广期结束后，车队对乘客的支付方式进行统计，结果如下支付方式现金乘车卡扫码比例假设该线路公交车票价为元，使用现金支付的乘客无优惠，使用乘车卡支付的乘客享受折优惠，扫码支付的乘客随机优惠，根据统计结果得知，使用扫码支付的乘客中有的概率享受折优惠，有的概率享受折优惠，有的概率享受折优惠.根据给定数据以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，在不考虑其它因素的条件下，求一名乘客一次乘车的平均费用.参考数据：其中：，参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ，.【答案】（1）（2）；（3）【解析】【分析】（1）根据散点图可判断，（2）先取对数，转化为直线方程，再求均值，代入公式可得回归方程，最后代入自变量可得预测值，（3）根据概率与对应支付的费用乘积的和求平均值.【详解】解：（1）根据散点图判断，适宜作为扫码支付的人次关于活动推出天数的回归方程类型；（2），两边同时取常用对数得： ；设， ，把样本中心点代入，得：，关于的回归方程式： ；把代入上式：；故活动推出第天使用扫码支付的人数为；（3）记一名乘客乘车支付的费用为，则的取值可能为：，；，；，所以，一名乘客一次乘车的平均费用为：（元）.【点睛】本题考查散点图、回归方程以及平均值计算，考查基本分析求解能力，属中档题.21.已知函数，.（1）若函数图像在点处的切线斜率为时，求的值，并求此时函数的单调区间；（2）若，为函数的两个不同极值点，证明：.【答案】（1）,减区间为，无增区间.（2）见解析【解析】【分析】（1）根据导数几何意义列式解得的值，再求导数，根据导函数符号确定函数单调区间，（2）先取对数化简所证不等式为，再通过极值点条件化简为再转化不等式为，令，转化不等式为，最后根据导数研究函数单调性，即可证明不等式.【详解】（1）解：求得当时，所以有，令，所以当时，单调递增：当时，单调递减，故，所以.则，故的单调减区间为，无增区间.（2）要证：，也即证：，又，所以，为方程的两根，即，即证，而-得，即证：，不妨设，则证：，所以，设，则 ，在单调递增，即结论成立.【点睛】利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.22.在平面直角坐标系