湖北省部分重点中学2020届高三数学上学期起点考试试题 理

湖北省部分重点中学2020学年度上学期高三起点考试数 学 试 卷（理 科） 【试卷综评】全面考查了考试说明中要求的内容，明确了中学数学的教学方向和考生的学习方向,适度综合考查，提高试题的区分度.通过考查知识的交汇点，对考生的数学能力提出了较高的要求.突出考查数学主干知识 ,侧重于中学数学学科的基础知识和基本技能的考查。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 . i为虚数单位，, 则的共轭复数为 ( )A. 2-i B. 2+i C. -2-i D. -2+i【知识点】复数代数形式的乘除运算;共轭复数.【答案解析】A解析 ：解：因为，故的共轭复数为，故选A.【思路点拨】先把原式化简，再利用共轭复数的概念即可求得结果.2若二项式的展开式中的常数项为70，则实数可以为（ ）A2 B C D 【知识点】二项式定理；二项式系数的性质【答案解析】B解析 ：解：二项式定理的通项公式可得：，令，所以常数项为，解得.【思路点拨】利用二项式定理的通项公式，通过x的指数为0，求出常数项，然后解出a的值开始p1，n1nn1p20 ?输出n结束(第3题图)是否p=p+2n-1 3若某程序框图如图所示，则输出的n的值是 ( )A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【知识点】程序框图，等差数列的前n项和公式.【答案解析】C解析 ：解：框图首先给循环变量n赋值1，给累加变量p赋值1，执行n=1+1=2，p=1+（22-1）=1+3=4；判断420不成立，执行n=2+1=3，p=1+3+（23-1）=1+3+5=9；判断920不成立，执行n=3+1=4，p=1+3+5+（24-1）=1+3+5+7=16；由上可知，程序运行的是求首项为1，公差为2的等差数列的前n项和，由，且nN*，得n=5故选C【思路点拨】框图首先给循环变量n赋值1，给累加变量p赋值1，然后执行运算n=n+1，p=p+2n-1，然后判断p20是否成立，不成立循环执行n=n+1，p=p+2n-1，成立时算法结束，输出n的值且由框图可知，程序执行的是求等差数列的前n项和问题当前n项和大于20时，输出n的值4.直线与圆相交于两点，则是“ABO的面积为 ”的（ ）充分而不必要条件 必要而不充分条件 充分必要条件 既不充分又不必要条件【知识点】充分、必要条件的判断.【答案解析】A解析 ：解：若，则直线与圆交于两点，所以,充分性成立；若ABO的面积为，易知，必要性不成立，故选A.【思路点拨】看两命题是否能够互相推出，然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断5 已知函数 y = 2 的定义域为a,b ,值域为-2,1 ，则 b-a的值不可能是( )A. B. C. D. 2【知识点】正弦函数的图象;利用图象求函数的值域.【答案解析】D解析 ：解：函数在上有函数的周期,值域含最小值不含最大值，故定义域小于一个周期,故选D【思路点拨】结合三角函数R上的值域，当定义域为，值域为，可知小于一个周期，从而可得结果6.若满足且的最小值为2，则的值为（ ） A. 1 B.1 C. 2 D. -2 【知识点】简单线性规划【答案解析】B解析 ：解：由约束条件作出可行域如图，由，得，B由得由图可知，当直线过B时直线在y轴上的截距最小，即z最小此时zmin0+=2，解得：k=-1故选B.【思路点拨】由此结合约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案7.在空间直角坐标系中，已知，若 ，分别表示三棱锥在，坐标平面上的正投影图形的 面积，则（ ）A B 且 C 且 D 且 【知识点】空间直角坐标系【答案解析】D解析 ：解：设，则各个面上的射影分别为A，B，C，D，在xOy坐标平面上的正投影A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D（1，1，0），S1=222在yOz坐标平面上的正投影A（0，0，0），B（0，2，0），C（0，2，0），D（0，1，），S2=2在zOx坐标平面上的正投影A（2，0，0），B（2，0，0），C（0，0，0），D（1，0，），S3=2，则S3=S2且S3S1，故选：D【思路点拨】分别求出三棱锥在各个面上的投影坐标即可得到结论8已知，椭圆的方程为，双曲线的方程为，与的离心率之积为，则的渐近线方程为( )A . B. C. D.【知识点】椭圆、双曲线的几何性质.【答案解析】A解析 ：解：由已知椭圆、双曲线的几何性质得，所以，双曲线的渐近线方程为选A.【思路点拨】由已知椭圆、双曲线的几何性质可得双曲线的渐近线方程.9.已知向量 满足与的夹角为，若对一切实数, 恒成立，则的取值范围是( )。A. B. C. D. 【知识点】向量模的计算公式;数量积运算;恒成立问题的等价转化.【答案解析】C解析 ：解：因为与的夹角为，所以，把原式平方整理可得：恒成立，所以，即，即，故选C.【思路点拨】由已知,利用模的计算公式两边平方转化为关于的一元二次不等式，由于对一切实数原式恒成立，由解之即可10已知，。现有下列命题：；。其中的所有正确命题的序号是( ) A B C D 【知识点】命题的真假判断与应用【答案解析】A解析 ：解：，即正确；，故正确；当时， ，令，g（x）在单调递增，又，又与为奇函数，所以成立，故正确；故正确的命题有，故选：A【思路点拨】根据已知中函数的解析式，结合对数的运算性质，分别判断三个结论的真假，最后综合判断结果，可得答案二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分. 请将答案填在答题卡对应题号的位置上.（一）必考题（1114题）11.不等式的解集为 .【知识点】绝对值的意义，绝对值不等式的解法，【答案解析】解析 ：解：表示数轴上的x对应点到1和-2对应点的距离之和，而数轴上满足的点的坐标为-3和2，故不等式的解集为，故答案为【思路点拨】利用绝对值的意义，表示数轴上的x对应点到1和-2对应点的距离之和，而数轴上满足的点的坐标为-3和2，从而得出结论12. 已知偶函数在单调递减，.若，则的取值集合是_.【知识点】函数的奇偶性；函数的单调性.【答案解析】解析 ：解：因为偶函数在单调递减，所以在单调递增，又因为，所以，故满足的x的范围是，而成立，则有，即，故答案为.【思路点拨】结合函数的性质可得的x的范围，再解即可.13过点作斜率为的直线与椭圆：相交于A,B，若M 是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为 【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题【答案解析】解析 ：解：设，则，过点作斜率为的直线与椭圆：相交于A，B两点，是线段的中点，两式相减可得，【思路点拨】利用点差法，结合是线段的中点，斜率为，即可求出椭圆的离心率14. 以表示值域为R的函数组成的集合，表示具有如下性质的函数组成的集合：对于函数，存在一个正数，使得函数的值域包含于区间。例如，当，时，。现有如下命题：设函数的定义域为，则“”的充要条件是“，”；函数的充要条件是有最大值和最小值；若函数，的定义域相同，且，则若函数 （，）有最大值，则。其中的真命题有_.（写出所有真命题的序号）【知识点】命题的真假判断与应用；充要条件；函数的值域【答案解析】解析 ：解：（1）对于命题“”即函数值域为R，“，”表示的是函数可以在R中任意取值，故有：设函数的定义域为D，则“”的充要条件是“， ”命题是真命题；（2）对于命题若函数，即存在一个正数，使得函数的值域包含于区间-例如：函数满足-25，则有-55，此时，无最大值，无最小值命题“函数的充要条件是有最大值和最小值”是假命题；（3）对于命题若函数，的定义域相同，且A，B，则值域为R，（-，+），并且存在一个正数M，使得-g（x）+R则+B命题是真命题（4）对于命题函数（x-2，aR）有最大值，假设a0，当x+时，0，+，+，则+与题意不符；假设a0，当x-2时，-，+，则+与题意不符a=0即函数=（x-2）当x0时，x+2，即0；当x=0时，=0；当x0时，x+2，0，即0即故命题是真命题故答案为【思路点拨】根据题中的新定义，结合函数值域的概念，可判断出命题是否正确，再利用导数研究命题中函数的值域，可得到其真假情况，从而得到本题的结论（二）选考题（第15、16两题中任选一题作答，如果全选，则按第15题作答结果计分.）15（选修4-1：几何证明选讲）已知AB，BC是圆O的两条弦，AOBC，AB= ， BC=，则圆O的半径等于_。【知识点】垂径定理.【答案解析】解析 ：解：设垂足为D，O的半径等于R，则AB，BC是O的两条弦，AOBC，AB=，BC=，AD=1，R2=2+（R-1）2，R=故答案为：【思路点拨】设垂足为D，O的半径等于R，先计算AD，再计算R即可16（选修4-4：坐标系与参数方程）已知曲线的参数方程是，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是，则与交点的直角坐标为_【知识点】点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程【答案解析】解析 ：解：把曲线的参数方程是（t为参数），消去参数化为直角坐标方程为（x0，y0）曲线的极坐标方程是，化为直角坐标方程为解方程组，求得，与交点的直角坐标为，故答案为：【思路点拨】把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程，再把两曲线的方程联立方程组求得与交点的直角坐标三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（本小题满分12分）在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知（1） 求角C的大小，（2） 若c=2，求使ABC面积最大时，a,b的值。 【知识点】正弦定理；余弦定理；三角形面积公式.【答案解析】（1）（2）解析 ：解：（1）,由题意及正弦定理 即 从而 又 6分（2）由余弦定理 即 , (当且仅当时成立) ABC面积最大为，此时 故当时，ABC的面积最大为.【思路点拨】（1）利用诱导公式和正弦定理以及两角和的正弦公式可求得结果；（2）根据余弦定理可判断出当，ABC面积最大，再求出最大值即可.18（本小题满分12分）已知各项均为正数的数列满足：为数列的前项和，且 2，成等差数列. (1)求数列的通项公式；(2) 若， 求数列的前项和.【知识点】利用递推公式求通项；错位相减法.【答案解析】（1）（2）解析 ：解：（1）, , , (n2) 通项公式为 6分（2）,得12分【思路点拨】（1）借助于递推公式即可；（2）利用求出后，再利用错位相减法即可求.19（本小题满分12分）如图，中，两点分别是线段 的中点，现将沿折成直二面角。(1) 求证：； (2) 求直线与平面所成角的正切值。ABCDEABCDE 【知识点】线面垂直的判定定理；二面角的求法.【答案解析】（1）见解析（2）解析 ：解：() 由两点分别是线段的中点，得，为二面角平面角， 。 ABCDEHO 又 7分() 连结BE交CD于H，连结AH过点D作于O。，所以为与平面所成角。中， 中，.所以直线与平面所成角的正切值为 。 13分【思路点拨】（1）先找到二面角平面角，再结合线面垂直的判定定理即可；（2）通过已知条件确定为与平面所成角，然后在三角形中解出其正切值即可.20（本小题满分12分）某省进行高考改革，外语实行等级考试，其他学科分值如下表：科目语文数学科目A科目B科目C科目D分值180150120100100100(1) 有老师建议语文放在首场，数学与科目A不相邻，按这位老师的建议安排考试，前三科总分不小于400的概率为多少？(2) 若前三场科目中要安排语文，求前三场考试总分的分布列及期望值。【知识点】排列组合；概率；分布列及期望.【答案解析】（1）（2）408解析 ：解：(1) (2) 可能值为380，400，430，450，的分布列为 380400430450P0.30.30.30.1E( )=408【思路点拨】（1）利用排列组合以及概率的知识可求得结果；（2）列出分布列后再代入期望公式即可.21（本小题满分13分） 已知点（0，-2），椭圆：的离心率为，是椭圆的焦点，直线的斜率为，为坐标原点.(1) 求的方程；(2) 设过点的直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程.【知识点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程【答案解析】（1）（2）解析 ：解：（1）显然是椭圆的右焦点，设由题意 又离心率 ，故椭圆的方程为 . 4分（2）由题意知，直线的斜率存在，设直线的斜率为,方程为联立直线与椭圆方程： ，化简得： 设 ，则 坐标原点到直线的距离为令 ，则 （当且仅当 即时等号成立）故当 即 ，时的面积最大从而直线的方程为 .13分【思路点拨】（1）设F（c，0），利用直线的斜率公式可得，可得c又，b2=a2-c2，即可解得a，b；（2）设，由题意可设直线的方程为：与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，再利用弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式即可得出的面积通过换元再利用基本不等式的性质即可得出22（本小题满分14分）已知函数=+ (a0)（1） 若在 x =0处取极值，求a的值，（2） 讨论的单调性，（3） 证明: ( e为自然对数的底数, nN ) 【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；不等式的证明【答案解析】（1）（2）（3）解析 ：解：（1）f(x)+a，x=0使f（x）的一个极值点，则f(0)=0，验证知符合条件（2）f(x)+a若时，在单调递增，在单调递减；若得，当时f(x)0对恒成立，在上单调递减若时，由f(x)0得0再令f(x)0，