奥数中的数图形个数

第三次授课的数量和数量(2)例1数数，图3-1中总共有多少个点？解决方案：(1)方法1:从上一级向下一级，如图3-2所示：一楼两层楼三层四楼5楼6层7楼八楼9楼10层9个11楼8个12楼13层7个6个14楼5个15楼4个16层3个17楼2个18楼一个19楼总计1 2 3 4 5 6 8 10 9 8 6 3 2 1=(1 2 3 4 5 6 8 9 10)(9 8 7 6 5 3 2 1)=55 45=100(使用已学习的知识计算)。(2)方法2:如图3-3所示：从上到下，折线的数目一楼三层楼5个3楼7个4楼9个5楼6楼11个7楼13个8楼15个17个9楼19层总计：1 3 5 9 11 13 15 17 19=100(使用已学习的知识计算)。(3)方法3:将点编组的总角度替换为10行10列光栅，如图3-4所示。显然，点的总数为1010=100(个)。请想想：计数和计算，有时还有其他方法，需要更多的头脑。从方法1和方法3中导出以下类型：1 2 3 4 6 7 8 10 9 8 6 5 3 1=1010等号左边等数字的和等于中间数的乘积。我们猜测：1=111 2 1=221 2 3 2 1=331 2 3 4 3 2 1=441 2 3 4 5 4 3 2 1=551 2 3 4 5 4 3 2 1=661 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1=771 2 3 4 5 6 7 6 5 4 2 1=881 2 3 4 5 6 7 8 6 5 2 1=991 2 3 4 6 7 8 10 9 8 6 5 3 1=1010这样的方程可以继续写，可以写很多。同学们可以自己检查，确认是否正确，如果正确，可以发现一条规律。用方法2和方法3可以得到以下表达式：1 3 5 9 11 13 15 17 19=1010。从1开始的连续奇数的和等于奇数的乘积。让我们用这个来了解一下：1 3=221 3 5=331 3 5 7=441 3 5 7 9=551 3 5 7 9 11=661 3 5 9 11 13=771 3 5 9 11 13 15=881 3 5 9 11 13 15 17=991 3 5 9 11 13 15 17 19=1010可以继续写，学生们亲自检查，确认是否正确，发现了另一个规律。例2数数字，图3-5中有多少段？解决方案：(1)我们知道两点之间的直线部分是一条线段。以a点为公共端点的线段为：5个AB AC AD AE AF。以点b为公共左端点的线段如下所示：4个BC BD BE BF。以c点为公共左端点的线段为：3个CD CE CF。以d点为公共左端点的线段为：2个DE DF。以e点为公共左端点的线段为：EF1条。总计5 4 3 2 1=15个。(2)使用图形方法更直观。请参阅图3-6。总计5 4 3 2 1=15(万亿)。想一想：例子2表明，一条大线段有6个点，就等于：总计=5 4 3 2 1段。这推测了以下规律(见图3-7):也可以继续做。结论线段的总线是从1开始的连续自然数之和。其中最大的自然数小于总和。1.我们发现了另一条定律。它说明了点和线段总数之间的关系。以上事实也可以这样说。如果两个相邻点之间的线段称为基本线段，则一个大线段中的基本线段数和线段中的条带总数之间的关系如下：总分段条带是从1开始的连续自然数的总和。其中，最大自然数等于基本段的条数(见图3-8)。基本分段数分段总条带数你可以继续写，学生们可以自己尝试。例3有一个，图3-9有多少个锐角？解法：(1)我们知道图中的两条光线都形成尖锐的边缘。因此，使用OA边作为公共边的锐角如下所示：LAOB、AOC、AOE、AOF共5个。以OB边为公用的锐角如下：BOC，BOE，BOF共4个。以OC边为公用的锐角如下：COD，COE，COF共3个。使OD边公用的锐角为：DOE，DOF共2个。面向OE的锐角如下：EOF只有一个。锐角总计5 4 3 2 1=15(个)。如图3-10所示，锐角的总数为5 4 3 2 1=15(狗)。想一想：如示例3所示：从一点发出的六条光线组成的锐角总数=5 4 3 2 1 (1)，推测以下规律(见图3-11-15)两条光线1角(请参见图3-11)3条光线2 1个角度(见图3-12)4条光线3 2 1个角度(见图3-13)5条光线4 3 2 1个角度(见图3-14)6条光线5 4 3 2 1个角度(见图3-15)总之，角的总和是从1开始的连续自然数的总和，其中最大的自然数比射线数小1。同样，也可以这样想。如果由两条相邻光线构成的拐角称为缺省拐角，则具有公共顶点的缺省拐角和角的总数之间的关系如下：总角度数是从1开始的连续自然数的和。其中最大的自然数等于基本角度数。例子2和例子3的情况很相似，但是例子2是关于线段的，例子3是关于边的，但是求和时他们有相同的数学表达式。学生们通过数学表达式可以看出表面上完全不同的事物的数量关系，这就是数学的魔力。练习31.书库里把书沿墙堆起来，如图3-16所示。请数一下这些书中的多少？2.图3-17是一个棋盘格。请你数数，这个棋盘上总共有多少个棋孔？3.数数字，图3-18有多少条线段？4.数数图3-19有多少个锐角？5.数数图3-20中有多少个三角形？6.数数图3-21中有多少个正方形？练习题三个答案1.解法：方法1:从左到右计算一堆土地，然后加总：10 11 12 13 14 15 14 13 12 11 10=135(本)。方法2:将这堆书的形状看作矩形和三角形“尖塔”。长方形的书1011=110三角形的书1 2 3 4 3 2 1=25总计：110 25=135(本)。2.解法：因为有很多国际象棋洞，所以要找出排序的规律，以便于计数。仔细看，图中大三角形ABC的围棋孔排列方式为(从上到下):1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，另外三个小三角形的棋孔排列方式为1，3.解决方案：方法1:图3-22中显示的方法数(仅显示图的一部分)段总数：7 6 5 4 3 2 1=28(条带)。方法2:默认段总数为7，因此段总数为：7 6 5 4 3 2 1=28(万亿)。解决方案：图3-23特定方法数：总角度数：7 6 5 4 3 2 1=28(个)。5.解决方案：方法1: (1)三角形是由三条边组成的图形。将OA边构成左侧公共边的三角形包括：OAB，OAC，OAE，OAF，OAG，OAH，总共7个；以OB边为左侧公共边的三角形如下所示：OBC、OBD、OBF、OBG、OBH共6个；将OC边组成左侧公共边的三角形为OCD、OCE、OCF、OCG、OCH，共5个。OD边由左侧公共边组成的三角形包括：ODE，ODF， odh，ODH，共4个；将OE边组成左侧公共边的三角形包括：OEF，OEG，OEH，共3个；OF边由左侧公共边组成的三角形包括：OFG，OFH，共2个；OG边缘和OH，GH两边的三角形只有OGH1。三角形总数：7 6 5 4 3 2 1=28(个)。(2)方法2:显然，基准亚的