辽宁省抚顺市2020届高三数学第一次模拟考试试题 理（含解析）

辽宁省抚顺市2020届高三第一次模拟考试数学(理)试题一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.已知复数满足(是虚数单位)，则复数的模 ()A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求出的表达式，然后根据除法的运算法则进行运算，最后求出的模。【详解】，故，故本题选B【点睛】本题考查了复数求模问题。2.已知集合，则()A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先分别求出集合和，由此能求出。【详解】集合， 故本题选C【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力。3.在等差数列中，前项和满足，则的值是()A. 5B. 7C. 9D. 3【答案】A【解析】【分析】根据等差数列性质求的值.【详解】因为，所以，即选A.【点睛】本题考查等差数列性质，考查基本分析求解能力，属基础题.4.军训时，甲、乙两名同学进行射击比赛，共比赛10场，每场比赛各射击四次，且用每场击中环数之和作为该场比赛的成绩数学老师将甲、乙两名同学的10场比赛成绩绘成如图所示的茎叶图，并给出下列4个结论：(1)甲的平均成绩比乙的平均成绩高；(2)甲的成绩的极差是29；(3)乙的成绩的众数是21；(4)乙的成绩的中位数是18则这4个结论中，正确结论的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】根据茎叶图估计平均数、极差、众数以及中位数，即可判断选项.【详解】根据茎叶图知甲的平均成绩大约二十几，乙的平均成绩大约十几，因此（1）对；甲的成绩的极差是37-8=29，（2）对；乙的成绩的众数是21，（3）对；乙的成绩的中位数是（4）错，选C.【点睛】本题考查茎叶图以及平均数、极差、众数、中位数等概念，考查基本分析判断与求解能力，属基础题.5.从6名大学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人，组成4人知识竞赛代表队，则不同的选法共有()A. 15种B. 180种C. 360种D. 90种【答案】B【解析】【分析】先从6名大学生中选出队长1人，副队长1人，再从剩下的4人选2人，问题得以解决【详解】先从6名大学生中选出队长1人，副队长1人，再从剩下的4人选2人，故有种， 故本题选B【点睛】本题考查排列、组合的应用，注意要先有顺序选取，再进行组合解决此类问题的关键是判断问题与顺序有没有关系。6.实数，满足约束条件，则的最大值是()A. B. C. 4D. 5【答案】C【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案【详解】由实数，满足约束条件，作出可行域：联立，解得，化化为，由图可知，当直线过时，直线在轴上截距最小，有最大值为：4故本题选C【点睛】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法。7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】B【解析】【分析】由三视图可知该几何体的直观图，从而求出几何体的体积【详解】由三视图可知几何体为边长为2的正方体的一半，做出几何体的直观图如图所示，故几何体的体积为234故选：B【点睛】本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状是解题的关键，属于中档题8.执行如图的程序框图，则输出的S的值是()A. 126B. C. 30D. 62【答案】D【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【详解】模拟程序的运行，可得：， 满足条件，执行循环体， 满足条件，执行循环体， 满足条件，执行循环体， 满足条件，执行循环体， 满足条件，执行循环体， 此时，不满足条件，退出循环，输出的值为62 故本题选D【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论。9.已知函数，若在区间上恒成立，则实数的最大值是()A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用恒成立问题的应用求出结果【详解】函数，由于：，故：，当时，函数的最小值为由于在区间上恒成立，故：，所以的最大值为故本题选A【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力。10.在三棱锥中，已知，点，分别为棱，的中点，则下列结论正确的是()A. 直线直线B. 直线直线C. 直线直线D. 直线直线【答案】D【解析】【分析】画出图形，取中点，连接，证明平面，则，再由，分别为棱，的中点，可得，从而得到【详解】由题意，如图所示，因为，得，取中点，连接，则，又，平面，则，分别为棱，的中点，则故选：D【点睛】本题主要考查了棱柱的结构特征，考查空间中直线与直线，直线与平面位置关系的判定与应用，其中解答中正确掌握空间几何体的结构特征，以及熟记线面位置关系的判定定理与性质定理是解答额关键，着重考查空间想象能力与思维能力，属于中档题11.已知双曲线的右顶点为为坐标原点，若，则双曲线的离心率的取值范围是()A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求出右顶点的坐标，由，可以得到的取值范围，求出离心率的表达式，利用不等式的知识，求出双曲线的离心率的取值范围。【详解】双曲线中，右顶点为，即，故本题选C【点睛】本题求双曲线离心率的取值范围。12.若函数有三个零点，则实数的取值范围是()A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由，利用参数分离法，然后构造函数，求出函数的导数，研究函数的极大值和极小值，利用数形结合进行求解即可【详解】由得，设， 则，由得得或，此时函数为增函数，由得得，此时函数为减函数，即当时， 取得极小值，当时， 取得极大值，当，且，函数图象如下图所示：要使有三个零点，则，即实数a的取值范围是，故本题选D【点睛】本题主要考查函数方程的应用，利用参数分离法，构造函数，研究函数的极值，利用数形结合是解决本题的关键二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.学校要从5名男生和2名女生中随机抽取2人参加社区志愿者服务，若用表示抽取的志愿者中女生的人数，则随机变量的数学期望的值是_(结果用分数表示)【答案】【解析】解：用随机变量表示选出的志愿者中女生的人数，可取0，1，2，当=0时，表示没有选到女生；当=1时，表示选到一个女生；当=2时，表示选到2个女生，P（=0）=10 /21 ，P（=1）=10/ 21 ，P（=2）=1 /21 ，E=010 /21 +110 /21 +21/ 21 =4 /7 故答案为：4 /714.若，则的值是_【答案】【解析】【分析】先根据诱导公式化简)，再根据二倍角余弦公式求结果.【详解】因,所以，因此.【点睛】本题考查诱导公式以及二倍角余弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题.15.已知点是抛物线的焦点，点为抛物线上任意一点，过点向圆作切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为_【答案】【解析】【分析】画出满足题意的图象，可得与原点重合时，四边形面积最小，进而得到答案【详解】如下图所示：圆的圆心与抛物线的焦点重合，若四边形的面积最小，则最小，即距离准线最近，故满足条件时，与原点重合，此时，此时四边形面积，故答案为：【点睛】本题考查抛物线的标准方程及简单几何性质。16.设数列是递减的等比数列，且满足，则的最大值为_【答案】64.【解析】【分析】利用等比数列的性质可以得出，与 联立，解出的值，数列是递减的等比数列，可以求出的值，利用单调性的最大值。【详解】设递减的等比数列的公比为，解得，时，的最大值为64故答案为：64【点睛】本题考查了等比数列的通项公式及其单调性，考查了推理能力与计算能力。三、解答题(本大题共7小题，共82.0分)17.已知，分别是的三个内角，的对边，若，角是最小的内角，且() 求的值；()若的面积为42，求的值【答案】() ;() .【解析】【分析】()由正弦定理，三角形内角和定理可得，结合，整理可得，又，利用同角三角函数基本关系式可求的值 ()由()及三角形的面积公式可求的值，利用同角三角函数基本关系式可求的值，根据余弦定理可求的值【详解】() 由、，及正弦定理可得：，由于，整理可得：，又，因此得：()由()知，又的面积为42，且，从而有，解得，又角是最小的内角，所以，且，得，由余弦定理得，即【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想。18.“微信运动”是手机推出的多款健康运动软件中的一款，大学生的微信好友中有400位好友参与了“微信运动”他随机抽取了40位参与“微信运动”的微信好友(女20人，男20人)在某天的走路步数，经统计，其中女性好友走路的步数情况可分为五个类别：、02000步，(说明：“02000”表示“大于或等于0，小于2000”，以下同理)，、20005000步，、50008000步，、800010000步，、1000012000步，且三种类别的人数比例为，将统计结果绘制如图所示的柱形图；男性好友走路的步数数据绘制如图所示的频率分布直方图参与者超越者合计男20女20合计40若某人一天的走路步数大于或等于8000，则被系统认定为“超越者”，否则被系统认定为“参与者”()若以大学生抽取的微信好友在该天行走步数的频率分布，作为参与“微信运动”的所有微信好友每天走路步数的概率分布，试估计大学生的参与“微信运动”的400位微信好友中，每天走路步数在20008000的人数；()若在大学生该天抽取的步数在800012000的微信好友中，按男女比例分层抽取9人进行身体状况调查，然后再从这9位微信好友中随机抽取4人进行采访，求其中至少有一位女性微信好友被采访的概率；()请根据抽取的样本数据完成下面的列联表，并据此判断能否有的把握认为“认定类别”与“性别”有关？【答案】()260; (); ()见解析.【解析】【分析】()所抽取的40人中，该天行走20008000步的人数：男12人，女14人，400位参与“微信运动”的微信好友中，每天行走20008000步的人数约为：人；()根据分层抽样可得男6人，女3人，再根据古典概型的概率公式可得；()根据列联表计算出的观测值，结合临界值表可得【详解】()所抽取的40人中，该天行走20008000步的人数：男12人，女14人，400位参与“微信运动”的微信好友中，每天行走20008000步的人数约为：人；()该天抽取的步数在800012000的人数：男8人，女4人，再按男女比例分层抽取9人，则其中男6人，女3人所求概率(或)()完成列联表参与者超越者合计男12820女16420合计281240计算，因为，所以没有理由认为“认定类别”与“性别”有关，即“认定类别”与“性别”无关【点睛】本题考查了独立性检验。19.如图，在正三棱柱中，分别为，的中点()求证：平面；()求与平面所成角的正弦值【答案】（）见解析；() .【解析】【分析】() 取的中点，连结，推导出四边形为平行四边形，从而，由此能证明平面 () 取中点，连结，以为原点，分别以为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与平面所成角的正弦值【详解】（）证明：取的中点，连结，在中，因为、分别为，的中点，所以且，又为的中点，且，即且，故四边形为平行四边形，又平面，平面，平面()取中点，连结，则，平面以为原点，分别以为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系则有，得设平面的一个法向量为则，即，令，则，设与平面所成的角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为【点睛】本题考查线面的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想。20.已知点在椭圆上，是长轴的两个端点，且（）求椭圆的标准方程；（）已知点，过点的直线与椭圆的另一个交点为，若点总在以为直径的圆内，求直线的斜率的取值范围【答案】（）；（）【解析】【分析】（）由题意可得，又点在椭圆上，即，即可求出椭圆方程，（）联立方程组，利用根的判别式、向量的数量积，即可直线斜率的取值范围【详解】（）由已知可得，解得，又点在椭圆上，即，解得，所以椭圆的标准方程为；（）设，当直线垂直于轴时，点在以为直径的圆上，不合题意，因此设直线的方程为，代入椭圆方程消去得，则有，即，且判别式，即，又点总在以为直径的圆内，所以必有，即有，将，代入得，解得，所以满足条件的直线的斜率的取值范围是【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆方程的方程组，合理利用判别式，以及向量的数量积进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等21.已知函数()讨论函数的单调性；()证明： (为自然对数底)恒成立【答案】()见解析；()见解析.【解析】【分析】()求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可；()取，有，即，求出(当且仅当时等号成立)，问题转化为证明在上恒成立即可，设，根据函数的单调性证明即可【详解】()解：函数的定义域为，当时，恒成立，所以在内单调递增；当时，令，得，所以当时，单调递增；当时，单调递减，综上所述，当时，在内单调递增；当时，在内单调递增，在内单调递减()证明：由(1)可知，当时，特别地，取，有，即，所以(当且仅当时等号成立)，因此，要证恒成立，只要证明在上恒成立即可设，则，当时，单调递减，当时，单调递增故当时， ，即在上恒成立因此，有，又因为两个等号不能同时成立，所以有恒成立或：令，则，再令，则，由知，存，使得，得，由可证，进而得证【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想。22.在直角坐标系中，以