透视高考数学试题与导数有关的三大热点问题 新课标 人教版

透视高考数学试题与导数有关的三大热点问题湖南祁阳四中 何双桥【考题回顾】近5年全国新课程卷对本章内容的考查情况：科别年份题型题量分值考查内容文科2002解答题114导数在实际中的应用2020解答题112利用导数求函数的单调区间2020解答题112综合运用导数的几何意义证明不等式2020解答题112利用导数求曲线的切线方程2020(浙江卷)解答题112求函数导数。利用导数求最值，解有关单调性问题。理科2002解答题112导数在实际中的应用2020选择、解答题各1题5+12利用导数求函数的极值和证明函数的单调性。2020解答题112综合运用导数的几何意义证明不等式2020选择、解答题各1题5+12导数的几何意义，利用导数求函数的单调区间2020(浙江卷)选择、解答题各1题5+12导函数的概念，；利用导数求曲线的切线方程，求函数的最值。【考点解读】导数是高中新课程的新增内容，它既是研究函数性态的有力工具，又是对学生进行理性思维训练的良好素材。从近几年的高考命题分析，高考对到导数的考查可分为三个层次：第一层次是主要考查导数的概念和某些实际背景，求导公式和求导法则。第二层次是导数的简单应用，包括求函数的极值，求函数的单调区间，证明函数的增减性等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性、方程根的分布、解析几何中的切线问题等有机的结合在一起，设计综合试题。热点一：导数的几何意义函数y=f (x) 在点x0导数的几何意义，就是曲线y=f (x) 在点P(x0, f(x0)处的切线的斜率，也就是说，曲线y=f (x) 在P (x0, f (x0)处的切线的斜率是f(x0)，于是相应的切线方程为yy0=f(x0) (xx0)，巧借导数几何意义“传接”的各类综合题频频出现,因此也就成为了高考命题的一个热点。【错题分析】错例1（06全国II）过点（1，0）作抛物线的切线，则其中一条切线方程为（A） （B） （C） （D）误解： ,根据导数的几何去何从意义可知，曲线的切线斜率(-1)=1，所以曲线的切线方程为y=(x1),即,选择（C）剖析：本题错在对导数的几何意义理解有误，切线的斜率k是应是在切点处的导数，而点(1，0) 不在曲线上。故本题应先设切点，再求斜率，写出直线的方程。正确解法：，设切点坐标为，则切线的斜率为2，且于是切线方程为，因为点（1，0）在切线上，可解得0或4，代入可验正D正确。选D【典型题例】例1 已知双曲线与点M（1，1），如图所示.（1）求证：过点M可作两条直线，分别与双曲线C两支相切；（2）设（1）中的两切点分别为A、B，其MAB是正三角形，求m的值及切点坐标。【考查目的】本题考查导数的几何意义在解析几何综合问题中的特殊作用，使代数与几何实现了和谐的勾通。（1）证明：设，要证命题成立只需要证明关于t的方程有两个符号相反的实根。 ，且t0，t1。设方程的两根分别为t1与t2，则由t1t2=m0，知t1，t2是符号相反的实数，且t1，t2均不等于0与1，命题获证。（2）设，由（1）知，t1+t2=2m，t1t2=m，从而，即线段AB的中点在直线上。又，AB与直线垂直。故A与B关于对称， 设，则有t2-2mt+m=0 由及夹角公式知，即 由得 从而由知，代入知因此，。探究：求切线方程的常见方法有：1、数刑结合。2、将直线方程代入曲线方程利用判别式。3、利用导数的几何意义。小结：深刻理解导数作为一类特殊函数，其几何意义所在，熟练掌握利用导数求函数的极值、单调区间、函数在闭区间上的最值等基本方法；导数的应用为研究函数性质、函数图象开辟了新的途径，成为勾通函数与数列、圆锥曲线等问题的一座桥梁；此外，导数还具有方法程序化，易掌握的显著特点。【热点冲刺】1（06安徽卷）若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为 A BC D解：与直线垂直的直线为，即在某一点的导数为4，而，所以在(1，1)处导数为4，此点的切线为，故选A2.（06四川卷）曲线在点处的切线方程是（A） （B） （C） （D）解：曲线，导数，在点处的切线的斜率为，所以切线方程是，选D.3.（06湖南卷）曲线和在它们交点处的两条切线与轴所围成的三角形面积是 .解析：曲线和在它们的交点坐标是(1，1)，两条切线方程分别是y=x+2和y=2x1，它们与轴所围成的三角形的面积是.4（07预测题）设抛物线y=x2与直线y=xa（a是常数）有两个不同的交点，记抛物线在两交点处切线分别为l1，l2，求值a变化时l1与l2交点的轨迹。解答：将y=xa代入y=x2整数得x2xa=0,为使直线与抛物线有两个不同的交点，必须= (1)24a0，所以a设此两交点为(，2)，(, 2)，由y=x2知y=2x，则切线l1，l2的方程为y=2x2，y=2x2.两切线交点为(x，y) 则 因为，是的解，由违达定理可知=1，=a由此及可得x=，y=a从而，所求的轨迹为直线x=上的y的部分。热点二：利用导数研究函数性质运用导数的有关知识，研究函数的性质（单调性、极值和最值）必将是07年高考的热点问题。高考试题常以解答题形式出现,主要考查利用导数为工具解决函数、不等式及数列有关的综合问题，题目较难。【错解分析】错例2 (06湖南十校大联考)已知函数f(x) = 在(2，)内单调递减，求实数a的取值范围是_误解：f(x)=，由f (x)在(2，)内单调递减，知f(x)0在x(2，)内恒立，即0在x(2，)内恒立。因此，a。剖析：(1)本题看似正确，实际上却忽视了一个重要问题：未验证f(x)是否恒为零。因为f (x)在区间D上单调递增（或递减）的充要条件f(x)0 (f(x)0且f(x)在任一子区间上不恒为零。而当a=时，f(x) =不是单调递减函数，不合题意。(2)在区间D内可导数f(x) ，利用导数判别f(x)单调性法则为：若xD时，有f(x)0(0, 则f(x)在D内是增（减）函数；反之，若f(x)在D内是增(减)函数，则xD时，恒有f(x)0（0）。（不恒为0）（3）再由函数的单调性过渡到函数的极值，由错例2 到 错例3错例3 (06江苏南通三模)函数f (x) = (x21)32的极值点是（ ）A、x=2B、x=1C、x=1或1或0D、x=0误解: f (x) =x63x43x21,则由f(x)=6x512x36x=0得极值点为x=1，x=1和x=0，故正确答案为C.剖析：满足f(x0)=0的点x=x0（称为驻点）只是它为极大（小）值点的必要而不充分条件，如果一味地把驻点等同于极值点，往往容易导致失误。正确解法: 事实上，这三点只是驻点(导数等于0的点)，由f(x) =6x512x36x=6x(x1)2(x1)2知，当x(，1)时，f(x)0；当x(1，0)时，f(x)0；当x(0，1)，f(x)0；当x(1，)时，f(x)0. f (x)在 (，1)、(1，0)单调递增，在(0，1)、(1，)单调递减。则x=0为极小值点，x=1或1都不是极值点（称为拐点）。故应选D。【典型题例】例2：（06湖南卷）已知函数,数列满足:证明:(); ().证明: （I）先用数学归纳法证明，1,2,3, (i).当n=1时,由已知显然结论成立. (ii).假设当n=k时结论成立,即.因为0x0成立.于是故点评：由导数研究函数的单调性，再由单调性来证明不等式、数列有关的综合问题必将会成为2020高考的重点内容，在学习中要足够地重视。 例3：设函数f(x)=ax3-2bx2+cx+4d(a、b、c、dR)的图象关于原点对称，且x=1时，f(x)取极小值-。(1)求a、b、c、d的值；(2)当x-1,1时，图象上是否存在两点，使得过此两点的切线互相垂直？试证明你的结论；(3)若x1,x2-1,1时，求证：|f(x1)-f(x2)|。【考查目的】本题主要考查导数的几何意义、导数的基本性质和应用、绝对值不等式以及综合推理能力。解(1) 函数f(x)图象关于原点对称，对任意实数x，都有f(-x)=- f(x).-ax3-2bx2-cx+4d=-ax3+2bx2-cx-4d，即bx2-2d=0恒成立.b=0,d=0,即f(x)=ax3+cx. f(x)=3ax2+c.x=1时,f(x)取极小值-. f(1)=0且f(1)=- ,即3a+c=0且a+c=-. 解得a=,c=-1.(2)证明：当x-1,1时，图象上不存在这样的两点使结论成立，假设图象上存在两点A(x1,y1)、B(x2+y2)，使得过这两点的切线互相垂直，则由f(x)=x2-1，知两点处的切线斜率分别为k1=x12-1,k2=x22-1,且(x12-1)(x22-1)=-1. (*)x1、x2-1,1, x12-10，x22-10(x12-1)(x22-1)0，这与(*)相矛盾，故假设不成立.(3)证明：f(x)=x2-1,由f(x)=0,得x=1.当x(-，-1)或（1，+）时，f(x)0; 当 x(-1，1)时，f(x)0.f(x)在-1,1上是减函数，且fmax(x)=f(-1)= , fmin(x)=f(1)= -.在-1,1上，|f(x)|.于是x1,x2-1,1时，|f(x1)-f(x2)|f(x1)|+|f(x2)|+=.故x1,x2-1,1时,|f(x1)-f(x2)|.探究：若x0点是y=f(x)的极值点，则f(x0)=0,反之不一定成立；在讨论存在性问题时常用反证法；利用导数得到y=f(x)在-1,1上递减是解第(3)问的关键.【热点冲刺】1.（06浙江卷）在区间上的最大值是(A)-2 (B)0 (C)2 (D)4解：，令可得x0或2（2舍去），当1x0，当0x1时，0，所以当x0时，f（x）取得最大值为2。选C2（06安徽卷）已知函数在R上有定义，对任何实数和任何实数，都有（）证明；（）证明 其中和均为常数；（）当（）中的时，设，讨论在内的单调性并求极值。证明（）令，则，。（）令，则。假设时，则，而，即成立。令，假设时，则，而，即成立。成立。（）当时，令，得；当时，是单调递减函数；当时，是单调递增函数；所以当时，函数在内取得极小值，极小值为3（06福建卷）已知是二次函数，不等式的解集是且在区间上的最大值是12。（I）求的解析式；（II）是否存在实数使得方程在区间内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。本小题主要考查函数的单调性、极值、最值等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查运算能力，考查函数与方程、数形结合、分类与整合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力。解：（I）当即时，在上单调递增，当即时，当时，在上单调递减，综上，（II）函数的图象与的图象有且只有三个不同的交点，即函数的图象与轴的正半轴有且只有三个不同的交点。当时，是增函数；当时，是减函数；当时，是增函数；当或时，当充分接近0时，当充分大时，要使的图象与轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须即所以存在实数，使得函数与的图象有且只有三个不同的交点，的取值范围为4.（预测题）证明方程x=sinx在(，)内只有一个实根。解答：设f(x)=xsinx，即证f(x)=0只有一个实数。因为f(x)=1cosx0，其中等号只在孤立点x=2k(kZ)时成都市立。故f(x)在(，)上是递增的。又由于f(0)=0，故当x0时，f(x)0，当x0时，f (x)0。因此f (x)=0只有一个实数根x=0.5（预测题）.已知0x1，n为大于1的正整数，求证：xn(1x)n1解答：设则，令，得，由于0x1，则有x=1x，解得x=又经比较知f(x)在0，1上的最小值、最大值分别为，所以xn(1x)n1热点三：运用导数解决实际问题：学习的目的，就是要会实际应用，学生要有运用导数知识解决实际问题的意识，思想方法以及能力。近几年，高考越来越注重对实际问题的考查，因此要学会应用导数解决有关最优化的问题及即时速度、边际成本等问题。实际应用问题的考查必将是07年高考的又一热点.【错解分析】错例4从边长为2a 的正方形铁片的四个角各截去一小块边为的正方形（如右图所示），再将四边向上折起，做成一个无盖的长方体铁盒，要求长方体的高度与底面正方形边长的比值不超过常数t.问：取何值时，容积V有最大值。误解： 因为所以函数的定义域为（0，这时V在定义域内有惟一极值点由问题的实际意义可知，剖析：求解函数的最值问题，应注意函数的定义域，本例由导数为0的点是否落在定义域内，引出了讨论。有时还要注意对导数为0的情形进行讨论。正确解法：当这时V在定义域内有惟一极值点由问题的实际意义可知，知V在定义域内为增函数，故当【典型题例】例4（06江苏卷）请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？点拨：本题难点是如何把实际问题中所涉及的几个变量转化成函数关系式. 技巧与方法主要有：根据题设条件作出图形，分析各已知条件之间的关系，借助图形的特征，合理选择这些条件间的联系方式，适当选定变化，构造相应的函数关系.解：设OO1为x m,则由题设可得正六棱锥底面边长为O1（单位：m）于是底面正六边形的面积为（单位：m2）帐篷的体积为（单位：m3）求导数，得令解得x=-2(不合题意，舍去),x=2.当1x2时，,V(x)为增函数；当2x4时，,V(x)为减函数。所以当x=2时,V(x)最大。答当OO1为2m时，帐篷的体积最大。点评：解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数.把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化，形式化，抽象成数学问题，再划归为常规问题，选择合适的数学方法求解（尤其要注意使用导数解决最优化的问题）。【热点冲刺】1.(06福建