高三数学三角函数的图像与性质苏教版（理）知识精讲

高三数学三角函数的图像与性质高三数学三角函数的图像与性质苏教版（理）苏教版（理） 【本讲教育信息本讲教育信息】 一. 教学内容： 三角函数的图像与性质 二. 教学目标： 了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余 弦函数和函数 y=Asin（x+）的简图，理解 A、 的物理意义 三. 知识要点： 1. 正弦函数、余弦函数、正切函数的图像 1 -1 y=sinx -3 2 -5 2 -7 2 7 2 5 2 3 2 2 - 2 -4 -3-2 43 2 - o y x 1 -1 y=cosx -3 2 -5 2 -7 2 7 2 5 2 3 2 2 - 2 -4 -3 -2 4 3 2 - o y x y=tanx 3 2 2 - 3 2 - - 2 o y x 2. 三角函数的单调区间： 的递增区间是，xysin 2 2 2 2 kk，)(Zk 递减区间是； 2 3 2 2 2 kk，)(Zk 的递增区间是，xycoskk22，)(Zk 递减区间是kk22，)(Zk 的递增区间是，tanyx 22 kk，)(Zk 3. 函数BxAy)sin(），（其中00A 最大值是，最小值是，周期是，频率是，相位是BAAB 2 T 2 f ，初相是；其图象的对称轴是直线，凡是该图象与直x)( 2 Zkkx 线的交点都是该图象的对称中心。By 4. 由 ysinx 的图象变换出 ysin（x）的图象一般有两个途径，只有区别开这两 个途径，才能灵活地进行图象变换。 利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现.无论哪种 变形，请切记每一个变换总是对字母 x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不 是“角变化”多少。 途径一：先平移变换再周期变换（伸缩变换） 先将 ysinx 的图象向左（0）或向右（0平移个单位，再将图象上 各点的横坐标变为原来的倍（0） ，便得到 ysin（x）的图象。 1 途径二：先周期变换（伸缩变换）再平移变换。 先将 ysinx 的图象上各点的横坐标变为原来的倍（0） ，再沿 x 轴向左 1 （0）或向右（0，平移个单位，便得到 ysin（x）的图象。 | 5. 对称轴与对称中心： 的对称轴为，对称中心为；sinyx 2 xk (,0) kkZ 的对称轴为，对称中心为 ；cosyxxk 2 (,0)k Zk 对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴sin()yAxcos()yAx 与最值点相联系。 6. 五点法作 y=Asin（x+）的简图： 五点法是设 X=x+，由 X 取 0、2 来求相应的 x 值及对应的 y 值， 2 2 3 再描点作图。 【典型例题典型例题】 例 1. 把函数 y=cos（x+）的图象向左平移个单位，所得的函数为偶函数，则的 3 4 最小值是（ ） A. B. C. D. 3 4 3 2 3 3 5 解：解：先写出向左平移 4 个单位后的解析式，再利用偶函数的性质求解。 向左平移个单位后的解析式为 y=cos（x+） 3 4 则 cos（x+）=cos（x+） ， 3 4 3 4 cosxcos（+）+sinxsin（+）=cosxcos（+）sinxsin（+） 3 4 3 4 3 4 3 4 sinxsin（+）=0，xR. 3 4 +=k，=k0 3 4 3 4 k，k=2，= 3 4 3 2 答案：答案：B 例 2. 试述如何由 y=sin（2x+）的图象得到 y=sinx 的图象。 3 1 3 解：解：y=sin（2x+） 3 1 3 ）（ 纵坐标不变 倍横坐标扩大为原来的 3 sin 3 1 2 xy xysin 3 1 3 纵坐标不变 个单位图象向右平移 xysin 3 横坐标不变 倍纵坐标扩大到原来的 另法答案：另法答案： （1）先将 y=sin（2x+）的图象向右平移个单位，得 y=sin2x 的图象； 3 1 3 6 3 1 （2）再将 y=sin2x 上各点的横坐标扩大为原来的 2 倍（纵坐标不变） ，得 y=sinx 3 1 3 1 的图象； （3）再将 y=sinx 图象上各点的纵坐标扩大为原来的 3 倍（横坐标不变） ，即可得到 3 1 y=sinx 的图象。 例 3. 求函数 y=sin4x+2sinxcosxcos4x 的最小正周期和最小值；并写出该函数在3 0，上的单调递增区间。 解：解：y=sin4x+2sinxcosxcos4x3 =（sin2x+cos2x） （sin2xcos2x）+sin2x3 =sin2xcos2x3 =2sin（2x）. 6 故该函数的最小正周期是 ；最小值是2；单调递增区间是0， ， ， 3 6 5 点评：点评：把三角函数式化简为 y=Asin（x+）+k（0）是解决周期、最值、单调区 间问题的常用方法。 例 4. 已知电流 I 与时间 t 的关系式为。sin()IAt （1）下图是（0，）sin()IAt| 2 在一个周期内的图象，根据图中数据求sin()IAt 的解析式； （2）如果 t 在任意一段秒的时间内，电流都能取得最大值和最 1 150 sin()IAt 小值，那么 的最小正整数值是多少？ 解：解：本小题主要考查三角函数的图象与性质等基础知识，考查运算能力和逻辑推理能 力。 （）由图可知 A300 设 t1，t2 1 900 1 180 则周期 T2（t2t1）2（） 1 180 1 900 1 75 150 2 T 将点代入 1 (,300) 450 6 故所求的解析式为 300sin(150) 6 It （2）依题意，周期 T，即， （0） 1 150 2 1 150 300942，又 N* 故最小正整数 943 点评：点评：本题解答的开窍点是将图形语言转化为符号语言其中，读图、识图、用图是 形数结合的有效途径。 【模拟试题模拟试题】 （答题时间：10 分钟） 1. 在（0，2）内，使 sinxcosx 成立的 x 的取值范围是（ ） A. （，）（，）B. （，） 4 2 4 5 4 C. （，）D. （，）（，） 4 4 5 4 4 5 2 3 2. 如果函数 f（x）=sin（x+） （02的最小正周期是 T，且当 x=2 时取得最 大值，那么（ ） A. T=2，=B. T=1，=C. T=2，=D. T=1，= 2 2 3. 设函数 f（x）=A+Bsinx，若 B0 时，f（x）的最大值是，最小值是，则 2 3 2 1 A=_，B=_。 4. 已知函数 y=tan（2x+）的图象过点（，0） ，则可以是（ ） 12 A. B. C. D. 6 6 12 12 5. 函数 y=sin（2x）+sin2x 的最小正周期是（ ） 3 A. 2B. C. D. 4 2 6. 若 f（x）sinx 是周期为 的奇函数，则 f（x）可以是（ ） A. sinxB. cosxC. sin2xD. cos2x 7. 函数 y=2sin（2x） （x0， ）为增函数的区间是（ ） 6 A. 0， B. ， 3 12 12 7 C. ，D. ， 3 6 5 6 5 8. 把 y=sinx 的图象向左平移个单位，得到函数_的图象；再把所得图象上的 3 所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍，而纵坐标保持不变，得到函数_的图象。 9. 函数 y=lg（cosxsinx）的定义域是_. 10. f（x）=2cos2x+sin2x+a（a 为实常数）在区间0，上的最小值为4，那么3 2 a 的值等于（ ） A. 4B. 6C. 4D. 3 试题答案试题答案 1. 答案：C 2. 解析：T=2，又当 x=2 时，sin（2+）=sin（2+）=sin，要使上式取 2 得最大值，可取=。 2 答案：A 3. 解析：根据题意，由可得结论 2 1 2 3 BA BA， 答案： 1 2 1 4. 解析：将（，0）代入原函数可得，tan（+）=0，再将A、B、C、D 代入检验即 12 6 可。 答案：A 5. 解析：y=cos2xsin2x+sin2x=cos2x+sin2x=sin（+2x） ，T=. 2 3 2 1 2 3 2 1 3 答案：B 6. 答案：B 7. 解析：对于 y=2sin（2x）=2sin（2x） ，其增区间可由 y=2sin（2x）的 6 6 6 减区间得到，即 2k+2x2k+，kZ。 2 6 2 3 k+xk+，kZ.令 k=0，故选 C. 3 6 5 答案：C 8. 解析：向左平移个单位，即以 x+代 x，得到函数 y=sin（x+） ，再把所得图象 3 3 3 上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍，即以x 代 x，得到函数：y=sin（x+） 。 2 1 2 1 3 答案：y=s