高三数学导数的应用（一）单调性与极值人教版知识精讲

高三数学导数的应用（一）单调性与极值高三数学导数的应用（一）单调性与极值人教版人教版 【同步教育信息同步教育信息】 一. 本周教学内容： 导数的应用（一）单调性与极值 1. 函数的单调性 一般地，设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；)(xfy 0)( x f)(xf 如果，则为减函数，如果在某个区间内恒有，则为常数。0)( x f)(xf0)( x f)(xf 2. 函数的极值 一般地，设函数在点附近有定义，如果对附近的所有点，都有)(xf 0 x 0 x ，就称是函数的一个极大值，记作；如果对)()( 0 xfxf)( 0 xf)(xf 极大值 y)( 0 xf 附近的所有的点，都有就称是函数的一个极小值，记作 0 x)()( 0 xfxf)( 0 xf)(xf 。极大值和极小值统称为极值。)( 0 xfy 极小值 判别是极大（小）值的方法是：)( 0 xf （1）如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值； 0 x0)( x f0)( x f)( 0 xf （2）如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值。 0 x0)( x f)(x f 0)( 0 xf 导数为 0 的点不一定是极值点，例如函数，处的导数是 0，但非极值 3 )(xxf0x 点。 求可导函数的极值的步骤如下：)(xf （1）求导数)(x f （2）求出方程的根0)( x f （3）检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么在这个根0)( x f)(xf 处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值，如果左右符号相同，)(xf 那么这个根不是极值点。 【典型例题典型例题】 例 1 确定函数在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数？762)( 23 xxxf 解：解：xxxf126)( 2 令，解得或0126 2 xx2x0x 令，解得0126 2 xx20 x 故函数在和为增函数，在为减函数)(xf)0,(x),2(x)2,0(x 例 2 研究函数的单调性。axxxf 3 )( 解：解：axxf 2 3)( 当时，则函数在（，）上是增函数0a0)(axf)(xf 当时，则在（，）上是增函数0a 3 )(xxf)(xf 当时，则在（，）和（0a) 3 )( 3 (3)( a x a xxf )(xf 3 a ，）上是增函数，在（，）上是减函数。 3 a 3 a 3 a 例 3 已知的单调区间。 ), 2 1 (,) 1 ( 2 1 ) 2 1 ,0(,)1 (2 )( 32 x x x xxxx xf 解：解： （1）当时，) 2 1 ,0(x)321(2)( 2 xxxf 即，故在（0，）为减函数0 3 2 ) 3 1 (3 2)( 2 xxf)(xf 2 1 （2）当时， ), 2 1 (x) 1 ( 2 1 )( x xxf) 1 1 ( 2 1 )( 2 x xf 由解得 2 1 0)( x xf 1 2 1 x 由解得 2 1 0)( x xf 1x 故函数在（，1）是减函数，在（1，）上是增函数。其图象如下)(xf 2 1 例 4 已知（其中为常数）试求：433)( 23 axxxxfa （1）的极大值；)(xf （2）若的极大值为 5，求的值；)(xfa （3）曲线过原点的切线的方程。)(xfy 解：解： （1），对一元二次函数，它的判别式axxxf363)( 2 0)( x f ) 1(36a 一元三次函数有极值的充要条件是有两相异实433)( 23 axxxxf0)( x f 根，即，。01a 当时，设的两根，1a0)( x f 1 x 2 x ，11 1 ax11 2 ax)()( 21 xxxxxf 列表如下： x （，） 1 x 1 x（，） 1 x 2 x 2 x（，） 2 x )(x f +0 0+ )(xf 极大极小 此函数当时取极大值)(xf11 1 axx 极大值为4)11 (3)11 (3)11 ()( 23 1 aaaaxf 231) 1(2aaa （2）令得5)( 1 xf5231) 1(2aaa ) 1(31) 1(2aaa 4 9 1a 4 5 a 故当时，取极大值 5 4 5 a)(xf （3）设切点 P（，），曲线过 P 点的切线斜率为 0 x433 0 2 0 3 0 axxx )2(3 0 2 0 axxk 切线方程为：433)(2(3 0 2 0 3 000 2 0 axxxxxaxxy 由切线过原点 O（0，0），故 0433)2(3 0 2 0 3 00 2 00 axxxaxxx 0432 2 0 3 0 xx 0)22)(2( 0 2 00 xxx2 0 x 把代入切线方程，得切线方程为2 0 xaxy3 【模拟试题模拟试题】（答题时间：30 分钟） 一. 选择题： 1. 设为的极值点，则（ ） 0 x)(xf A. B.不存在 )( 0 x f )( 0 x f C. 或不存在 D. 存在但可能不为 00)( 0 x f)( 0 x f 2. 下列命题正确的是（ ） A. 极大值比极小值大 B. 极小值不一定比极大值小 3. 三次函数当时有极大值 4，当时有极小值 0，且函数过原点，则该)(xf1x3x 函数是（ ） A. B. xxxy96 23 xxxy96 23 C. D. xxxy96 23 xxxy96 23 二. 填空题： 4. 函数的极大值为正数，极小值为负数，则的取值范围)0(3)( 23 aaxaxxfa 是 。 5. 若函数与的图象有 3 个交点，则的范围是 。xxy3 3 ay a 试题答案试题答案 一. 1. C 2. B 3. B 提示提示：设，cxbxaxxf 23 )( 则 03927 0627 4 023 0)3( 0)3( 4) 1 ( 0) 1 ( cba cba cba cba f f f f