高三数学函数的单调性、函数的极值、函数的最大值和最小值人教版（理）知识精讲

高三数学函数的单调性、函数的极值、函数的最大值和最小值人教版（理）【本讲教育信息】一. 教学内容：函数的单调性、函数的极值、函数的最大值和最小值二. 本周教学重、难点：1. 函数的单调性设函数在某个区间内可导（1）如果时，则函数为增函数（2）如果时，则函数为减函数（3）如果恒有，则为常函数2. 函数的极值（1）函数极值的概念（2）判断是极值的方法设函数在点及其附近可导，且=0 如果的符号在点的左右由正变负，则为函数的极大值； 如果的符号在点的左右由负变正，则为函数的极小值； 如果的符号在点的左右符号不变， 则不是函数的极值。 3. 函数的最值（1）函数最值的概念（2）求在上最值的方法 设是定义在区间上的函数，在内可导，求函数的最值，可分三步进行： 求函数在内的极值； 求函数在区间端点的函数值； 将函数的各极值与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。 若函数在上单调递增，则为函数的最小值，为函数的最大值，若函数在上单调递减，则为函数的最大值，为函数的最小值。【典型例题】例1 讨论函数在内单调性。解： 由即 即函数在上单调递增由即 或 在（0，）上单调递减，在（）内也单调递减例2 设函数，其中，求的取值范围，使函数在区间上是单调函数。解： 故当时，恒成立，即时，在上单调递减，又当时，在区间上存在两点，满足，即，所以函数在区间上不是单调函数。例3 已知函数（且）在定义域上是减函数，求的取值范围。解： 由得或 又由 例4 已知，且，设，问：是否存在实数使在上是减函数，并且在上是增函数。解：由，得，得 是连续函数，由在上是减函数，且在上是增函数 ，即存在实数使满足条件例5 设函数（其中）（1）若在处取得极值，求常数的值；（2）若在上为增函数，求的取值范围。解：（1） 在处取得极值 解得经验证知当时，在处取得极值（2）令 得当时，若 则 在和上为增函数故当时，在上为增函数当时，若 则 在和上为增函数，从而在上也为增函数综上所述，当时，在上为增函数例6 已知为实数，若在和上都是递增的，求的取值范围。解法一： 函数图象为开口向上且过点的抛物线由条件得即 即的取值范围是解法二：令，即由求根公式得可设， 在和上非负由题设可知：当或时，从而即解不等式组得 的取值范围是例7 设，函数的最大值为1，最小值为，求的值。解：当变化时，变化情况列表如下：01+00+当时，取极大值，而 需要比较与的大小 最大值为又 例8 已知函数，若在上的最大值为20，求它在该区间上的最小值。解：由得或 在上 在上单调递增 在上 在上单调递减因此和分别是在区间上的最大值和最小值又 解得 即函数在区间上的最小值为例9 设函数，求正数的范围，使对任意的都有不等式成立。解：，令得当时，当时， 是唯一的极值点，是极小值点且是最小值点要使恒成立 解得【模拟试题】（答题时间：30分钟）一. 选择题：1. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 及2. 若函数的递减区间为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 函数的一个单调区间为（1，2），则（ ）A. B. C. D. 4. 函数，已知在时取得极值，则等于（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 55. 函数有（ ）A. 极小值，极大值1B. 极小值，极大值3C. 极小值，极大值2D. 极小值，极大值36. 函数在（0，1）内有极小值，则（ ） A. B. C. D. 7. 函数的最小值为（ ） A. 0 B. C. D. 8. 函数在区间上的最大值为（ ）A. 10 B. C. D. 二. 解答题：1. 确定下列函数在哪个区间内是增函数，在哪个区间内是减函数：（1）；（2）；（3）。2. 求函数的极值。3. 如果函数在1时有极值，极大值为4，极小值为0，试求的值。【试题答案一.1. D解析：由，得或2. A 3. C4. D 解析：。5. D解析：，令，得当时，函数在这个区间为增函数当或时，函数为减函数 当时，有极小值；当时，有极大值36. A解析：由（因有极小值，故=0有解），得且当时，当时，当时，又 在（0，1）内有极小值 7. A解析：，令，得又 8. A解析：。由得或 ， 的最大值为10二. 1. 解：（1） 令，解得因此，当时，是增函数再令，解得因此，当时，是减函数（2）令，解得或因此，当及时，是增函数再令，解得因此，当时，是减函数（3）令，解得因此，当时，是增函数再令，解得又函数的定义域为，即因此，不存在某一区间，使是减函数2. 解：函数的定义域为 令得当变化时，的变化情况如下表：1