高三数学第一轮复习：三角函数的最值与给角求值知识精讲

高三数学第一轮复习：三角函数的最值与给角求值【本讲主要内容】 三角函数的最值与给角求值 yasinx+bcosx型函数最值的求法、已知三角函数求角。【知识掌握】【知识点精析】 1 yasinx+bcosx型函数最值的求法： 常转化为y sin（x+） 2 yasin2x+bsinx+c型 常通过换元法转化为yat2+bt+c型 3 y型 （1）当时，将分母与乘转化变形为sin（x+）型 （2）转化为直线的斜率求解（特别是定义域不是R时，必须这样作） 4. 已知三角函数求角： 求角的多值性法则： 1. 先决定角的象限。 2. 如果函数值是正值，则先求出对应的锐角x；如果函数值是负值，则先求出与其绝对值对应的锐角x。 3. 由诱导公式，求出符合条件的其它象限的角。【解题方法指导】 例1. 求函数ycotsinx+cotxsin2x的最值。 分析：先将切函数化成弦函数，再通过配方转化成求二次函数的最值问题 解：ysinx+2sinxcosx2（cosx+）2+ sinx0，cosx1 当cosx时，y有最小值，无最大值 点评：这是个基本题型，解题时要注意式中的隐含条件。 例2. 求函数y的最大值和最小值 分析：此题的解法较多，一是利用三角函数的有界性；二是数形结合法，将y看成是两点连线的斜率；三是利用万能公式换算，转化成一元函数的最值问题（由于万能公式不要求掌握，所以此方法只作了解即可） 解法一：去分母，原式化为sinxycosx22y， 即sin（x） 故1，解得y ymax，ymin 解法二：令x1cosx，y1sinx，有x12+y121它表示单位圆，则所给函数y就是经过定点P（2，2）以及该圆上的动点M（cosx，sinx）的直线PM的斜率k，故只需求此直线的斜率k的最值即可 由1，得k ymax，ymin 评述：数形结合法是高考中必考的数学思维方法，对此要有足够的重视 例3 已知函数的定义域为，值域为 5，1 ，求常数的值。 解： ， 当a 0时，bf（x）3a+b 解得 当a0时，3a +bf（x）b 解得 故a、b的值为或 点评：三角函数作为函数，其定义域和值域也是它的要素，要待定表达式中的常数值，需注意常数变化对值域的影响。 例4 求适合下列关系的x的集合。 （1） （2） （3） 解：（1） 所求集合为 （2）所求集合为 （3）【考点突破】【考点指要】 在有关三角函数的小题中，其考查的重点在于基础知识：解析式、图象及图象变换、两域（定义域、值域）、四性（单调性、奇偶性、对称性、周期性）、反函数以及简单的三角变换（求值、化简及比较大小）。【典型例题分析】 例1. （2020年上海春卷）已知函数。 （1）若，求函数的值； （2）求函数的值域。 分析与解：（1） （2） ， 函数的值域为 例2. （）已知函数（I）求函数的最小正周期；（II）求使函数取得最大值的集合。 分析：结合三角化简的公式，将题目转化为形式。 解答：解（）f（x）sin（2x）+1cos2（x） 2sin2（x） cos2（x）+1 2sin2（x）+1 2sin（2x）+1 （）当f（x）取最大值时，有 即 所求x的集合为【达标测试】一. 选择题： 1. （05全国卷）当时，函数的最小值为（ ） A. 2B. C. 4D. 2. （05浙江卷）已知k4，则函数ycos2xk（cosx1）的最小值是（ ） A. 1B. 1C. 2k1D. 2k1 3. 若02，则满足5sin240的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 满足sin2x的x的集合是（ ） A. xx（1），Z B. xx2，Z C. xx，Z D. xx，Z 5. 当时，函数的值域是（ ） A. 1， 1 B. ，1 C. 2，2D. 1， 2 6. 若，则的最大值和最小值分别是（ ） A. 7，5B. 7，C. 5，D. 7，5 7. 设函数，若对任意都有成立，则的最小值为（ ） A. 4B. 2C. 1D. 二. 填空题： 8. 若tan（3x），则x_。 9. 在闭区间0，2上，适合关系式cosx0.4099的角有_个，用0.4099的反余弦表示的x值是_；用0.4099的反余弦表示的x的值是_。 10. 函数的最小值是_。三. 解答题： 11. （1）已知函数求实数的值； （2）求函数的最大值及取得最大值时x的值函数。 12. 设的周期，最大值， （1）求、的值； （2）若是方程的两根，的终边不共线，求的值。 13. 已知函数 （1）求函数y的最大值，并求此时x的值。 （2）该函数的图象可由的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？ 14. 直角的锐角A，B满足：。【综合测试】一. 选择题： 1. 若a是三角形的一个内角，且sin，则等于（ ） A. 30 . 30或150 . 60 . 120或60 2 函数f（x）cos2x+sinx在区间，上的最小值是 A B C 1D 3 函数yxsinx在，上的最大值是 A 1B +1C D 4 函数ylog2（1+sinx）+log2（1sinx），当x，时的值域为 A 1，0 B （1，0） C 0，1D 0，1 5 当y2cosx3sinx取得最大值时，tanx的值是 A B C D 4 6. 函数的值域为（ ） A. B. 1，3C. 0，3D. 3，0 7. 若，则的最大值和最小值分别是（ ） A. 7，5B. 7，C. 5，D. 7，5 8. 当函数取得最大值时，的值是（ ） A. B. C. D. 4二. 填空题： 9. （05上海卷）函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则的取值范围是_。 10. 的最大值是。 11 设函数f（x）A+Bsinx，若B0时，f（x）的最大值是，最小值是，则A_，B_ 12. 若sin2x，则x 。三. 解答题： 13. 求函数的最大值和最小值。 14. 设关于的函数的最小值为f(a)。 （1）试用写出的表达式； （2）试确定的值，并对此时的求出的最大值。 15. 设x0，f（x）sin（cosx），g（x）cos（sinx），求f（x）、g（x）的最大值【达标测试答案】 1. D2. A3. D4. D5. D6. D7. B 8. xk，kZ 9. 2 arccos0.4099 arccos0.4099 arccos（0.4099） 2arccos（0.4099） 10. 11. 解：（1）由 可得 （2） 时，函数f（x）的最大值为12 点评：结论是历年高考命题的热点之一。 12. 解：（1） ， ， ， 又的最大值， ，且 ， 由、解出 （2） ， ， 或 即（共线，故舍去），或 点评：方程组的思想是解题时常用的基本思想方法；在解题时不要忘记三角函数的周期性 13. 解：（1）， 当； （2）将函数的图象依次进行如下变换： 把函数的图象向左平移，得到函数的图象； 把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象； 把得到的图象上各点纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象； 把得到的图象向上平移个单位长度，得到函数+的图象； 综上得函数的图象 14. 解：由已知： 为锐角， 综合测试答案 1. B 2. D 解析：f（x）1sin2x+sinx（sinx）2+ 当x时，ymin 3. D 解析：yxsinx在，上是增函数， x时，ymax 4. A 解析：ylog2（1sin2x）log2cos2x 当x0时，ymaxlog210；当x时，ymin1 值域为1，0 5. B 解析：ysin（x）（其中tan）y有最大值时， 应sin（x）1x2k+x2k+ tanxtan（x）tan（2k+）cot 6. B 7. D 8. B 9. 10.