高三数学函数的综合应用苏教版（文）知识精讲

高三数学函数的综合应用高三数学函数的综合应用苏教版（文）苏教版（文） 【本讲教育信息本讲教育信息】 一. 教学内容： 函数的综合应用 二. 教学目的 1. 在全面复习函数有关知识的基础上，进一步深刻理解函数的有关概念，全面把握各类 函数的特征，提高运用基础知识解决问题的能力。 2. 掌握初等数学研究函数的方法，提高研究函数的能力，重视数形结合数学思想方法的 运用和推理论证能力的培养。 3 初步沟通函数与方程、不等式及解析几何有关知识的横向联系，提高综合运用知识解 决问题的能力 4 树立函数思想，使学生善于用运动变化的观点分析问题 教学重点：是通过对问题的讲解与分析，使学生能较好地调动函数的基础知识解决问 题，并在解决问题中深化对基础知识的理解，深化对函数思想、数形结合思想的理解与运 用。 教学难点：是函数思想的理解与运用，推理论证能力、综合运用知识解决问题能力的 培养与提高。 三. 知识点归纳： 函数的综合问题主要有如下几个方面： 1. 函数的概念、性质和方法的综合问题； 2. 函数与其它知识，如方程、不等式、数列的综合问题； 3. 函数与解析几何的综合问题； 4. 联系生活实际和生产实际的应用问题 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 函数的综合复习是在系统复习函数有关知识的基础上进行函数的综合应用： 在应用中深化基础知识 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头在复习中基础知识经历一个由分散到系统，由单一到综合的发展过 程。这个过程不是一次完成的，而是螺旋式上升的。因此要在应用基础知识的同时，使基 础知识向深度和广度发展。 以数学知识为载体突出数学思想方法。数学思想方法是观念性的东西，是解决数学问 题的灵魂，同时它又离不开具体的数学知识 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头函数内容最重要的数学思想是函数思想和数形 结合的思想。此外还应注意在解题中运用的分类讨论、换元等思想方法。解较综合的数学 问题要进行一系列等价转化或非等价转化 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头因此本课题也十分重视转化的数学思想。 重视综合运用知识分析问题解决问题的能力和推理论证能力的培养。函数是数学复习 的开始，还不可能在大范围内综合运用知识。但从复习开始就让学生树立综合运用知识解 决问题的意识是十分重要的。推理论证能力是学生的薄弱环节，近几年高考命题中加强对 这方面的考查，尤其是对代数推理论证能力的考查是十分必要的。 【典型例题典型例题】 例 1、已知函数 f（x） ，xF，那么集合（x，y）|y=f（x） ，xF（x，y）|x=1 中所含元素的个数是 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头（ ） A. 0 B. 1 C. 0 或 1 D. 1 或 2 分析：分析：这里首先要识别集合语言，并能正确把集合语言转化成熟悉的语言。从函数观 点看，问题是求函数 y=f（x） ，xF 的图象与直线 x=1 的交点个数（这是一次数到形的转 化） ，不少学生常误认为交点是 1 个，并说这是根据函数定义中“惟一确定”的规定得到的， 这是不正确的，因为函数是由定义域、值域、对应法则三要素组成的 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头这里给出了函数 y=f（x）的定义域是 F，但未明确给出 1 与 F 的关系，当 1F 时有 1 个交点，当 1F 时 没有交点，所以选 C 例 2、方程 lgx+x=3 的解所在区间为（ ） A、 （0，1） B、 （1，2） C、 （2，3） D、 （3，+） 分析：分析：在同一平面直角坐标系中，画出函数 y=lgx 与 y=x+3 的图象（如图所示） 。 它们的交点横坐标，显然在区间（1，3）内，由此可排除 A，D。至于选 B 还是选 C，由 0 x 于画图精确性的限制，单凭直观就比较困难了 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头实际上这是要比较 与 2 的大小 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头当 x=2 时， 0 x lgx=lg2，3x=1。由于 lg21，因此2，从而判定（2，3） ，故本题应选 C。 0 x 0 x 说明：说明：本题是通过构造函数用数形结合法求方程 lgx+x=3 的解所在的区间。数形结合， 要在结合方面下功夫。不仅要通过图象直观估计，而且还要计算的邻近两个函数值，通 0 x 过比较其大小进行判断。 例 3、 （1）一次函数 f（x）=kx+h（k0） ，若 mn 有 f（m）0，f（n）0，则对于 任意 x（m，n）都有 f（x）0，试证明之； （2）试用上面的结论证明下面的命题： 若 a，b，cR 且|a|1，|b|1，|c|1，则 ab+bc+ca1。 分析：分析：问题（1）实质上是要证明一次函数 f（x）=kx+h（k0） ，x（m，n） 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头若区间 两个端点的函数值均为正，则对于任意 x（m，n）都有 f（x）0 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头之所以具有上述性质 是由于一次函数是单调的 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头因此本问题的证明要从函数单调性入手。 （1）证明：当 k0 时，函数 f（x）=kx+h 在 xR 上是增函数，mxn，f（x） f（m）0； 当 k0 时，函数 f（x）=kx+h 在 xR 上是减函数，mxn，f（x）f（n）0 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 所以对于任意 x（m，n）都有 f（x）0 成立 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 （2）将 ab+bc+ca+1 写成（b+c）a+bc+1，构造函数 f（x）=（b+c）x+bc+1 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头则 f（a）=（b+c）a+bc+1 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 当 b+c=0 时，即 b=c， f（a）=bc+1=c2+1 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 因为|c|1，所以 f（a）=c2+10 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 当 b+c0 时，f（x）=（b+c）x+bc+1 为 x 的一次函数 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 因为|b|1，|c|1， f（1）=b+c+bc+1=（1+b） （1+c）0， f（1）=bc+bc+1=（1b） （1c）0 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 由问题（1）对于|a|1 的一切值 f（a）0，即（b+c）a+bc+1=ab+ac+bc+10 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 说明：说明：问题（2）的关键在于“转化” “构造” 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头把证明 ab+bc+ca1 转化为证明 ab+bc+ca+10，由于式子 ab+bc+ca+1 中， a，b，c 是对称的，构造函数 f（x）=（b+c） x+bc+1，则 f（a）=（b+c）a+bc+1，问题转化为在|a|1，|b|1，|c|1 的条件下证明 f（a）0 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头（也可构造 f（x）=（a+c）x+ac+1，证明 f（b）0） 。 例 4、假设国家收购某种农产品的价格是元/，其中征税标准为每元征元1.2kg1008 （叫做税率为 8 个百分点，即） ，计划可收购。为了减轻农民负担，决定税率降8%mkg 低个百分点，预计收购可增加个百分点 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头（1）写出税收 （元）与的函数关系；x2xyx （2）要使此项税收在税率调节后不低于原计划的，确定的取值范围。78%x 解：解：（1）由题知，调节后税率为，预计可收购，总金额为(8)%x(12 %)mxkg 元1.2 (12 %)mx 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 2 3 1.2 (12 %)(8)%(40042)(08) 12500 m ymxxxxx （2）原计划税收元，1.28%m ，1.2 (12 %)(8)%1.28% 78%mxxm 得，又， 2 42880 xx442x08x 的取值范围为x02x 例 5、某航天有限公司试制一种仅由金属和金属合成的合金，现已试制出这种合金AB 克，它的体积为 50 立方厘米，已知金属的比重小于每立方厘米克，大于每立400Ad9 方厘米克；金属的比重约为每立方厘米克8.8B7.2 （1）试用分别表示出此合金中金属、金属克数的函数关系式；dAB （2）求已试制的合金中金属、金属克数的取值范围。AB 解：解：（1）此合金中含金属克、金属克， 则 ，AxBy 400 50 7.2 xy xy d 解得， 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 40 (8.89) 7.2 d xd d 360(8) (8.89) 7.2 d yd d （2）在上是减函数， 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 407.2 40(1) 7.27.2 d x dd (8.8,9)200220 x 在上是增函数， 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 360(8)0.8 360(1) 7.27.2 d y dd (8.8,9)180200y 例 6、已知函数R，且 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 aaxaxxf( |2|lg) 1()( 2 )2a （1）若能表示成一个奇函数和一个偶函数的和，求的解)(xf)(xg)(xh)()(xhxg和 析式； （2）命题 P：函数在区间上是增函数；)(xf),) 1( 2 a 命题 Q：函数是减函数。)(xg 如果命题 P、Q 有且仅有一个是真命题，求a的取值范围； （3）在（2）的条件下，比较的大小。2lg3)2(与f 解：解：（1）),()(),()(),()()(xhxhxgxgxhxgxf ).()()(xhxgxf . |2|lg) 1()()( |,2|lg) 1()()( 2 2 axaxxhxg axaxxhxg 解得. |2|lg)(,) 1()( 2 axxhxaxg （2）在区间上是增函|2|lg 4 ) 1( ) 2 1 ()( 2 2 a aa xxf函数),) 1( 2 a 数， 解得, 2 1 ) 1( 2 a a . 2 2 3 1aaa且或 又由函数是减函数，得xaxg) 1()(. 21, 01aaa且 命题 P 为真的条件是： . 2 2 3 1aaa且或 命题 Q 为真的条件是： 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 21aa且 又命题 P、Q 有且仅有一个是真命题，. 2 3 a （3）由（1）得(2)2lg|2| 6.faa 3 ,(2)2lg(2)6 2 afaa 又 设函数 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 010ln 2 1 2)(, 6)2lg(2)( a avaaav 函数在区间上为增函数 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 )(av), 2 3 又 . 2 lg3)2(), 2 3 ()(, 2 3 , 2lg3) 2 3 (fvavav即时当 例 7、若f（x）在定义域（1，1）内可导，且、axf又当; 0)( 时，解0) 1 , 1(bab且( )( )0.f af b 2 (1)(1)0fmfm 解：解：0)(,) 1 , 1()(xfxf且内可导在 上为减函数 ) 1 , 1()(在xf 又当ba,0)()(,0),1 , 1(bfafba时 )()(),()(afafafbf即 上为奇函数 ) 1 , 1()(在xf )1 ()1 (0)1 ()1 ( 22 mfmfmfmf 21 11 111 111 ) 1()1 ( 2 22 m mm m m mfmf 原不等式的解集为 )2, 1 ( 例 8、函数的定义域为 D：且满足对于任意，有 )(xf0|xxDxx 21, ).()()( 2121 xfxfxxf （）求的值；) 1 (f （）判断的奇偶性并证明； )(xf （）如果上是增函数，求x), 0()(, 3)62() 13(, 1)4(在且xfxfxff 的取值范围。 （I）解：解：令 . 0 ) 1 (),1 () 1 () 11 (, 1 21 ffffxx解得有 （II）证明：证明：令 12 1,xx ( 1) ( 1)( 1)( 1),( 1)0ffff 有解得 令).()(),() 1()(, 1 21 xfxfxffxfxxx有 为偶函数 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 )(xf （III） . 3 )4()16()416(, 2)4()4()44(ffffff （1）)64()62)(13(3)62() 13(fxxfxfxf即 上是增函数， ), 0()(在xf （1）等价于不等式组： .64)6x2)(1x3( , 0)6x2)(1x3( ,64)6x2)(1x3( , 0)6x2)(1x3( 或 Rx x x xx , 3 3 1 , 5 3 7 , 3 1 3 或 或 . 3 3 1 3 1 3 7 53xxx或或 x的取值范围为 .5x33x 3 1 3 1 x 3 7 |x或或 例 9、已知函数 2 2 4 , (0), ( ) 4 , (0). xx x x f x xx x x （1）求证：函数是偶函数；( )f x （2）判断函数分别在区间、上的单调性，并加以证明；( )f x2, 0( ), 2 （3）若，求证： 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 12 1 | 4,1 | 4x x 12 |()()| 1f xf x 解：解：（1）当时，0 x 0 x 则 22 4()()4 ( ),() () xxxx f xfx xx 2 4xx x ( )()f xfx 当时，0 x 0 x 则， 2 4xx x ( )()f xfx 综上所述，对于，都有，0 x ( )()f xfx 函数是偶函数。( )f x （2）当时，0 x 2 44 ( )1, xx f xx xx 设，则 21 0 xx 21 2112 12 ()()(4) xx f xf xxx xx 当时，； 21 2xx 21 ()()0f xf x 当时， 21 20 xx 21 ()()0f xf x 函数在上是减函数，函数在上是增函数( )f x(0, 2( )f x2,) （3）由（2）知，当时，14x5( )6f x 又由（1）知，函数是偶函数，( )f x 当时，1 | 4x6)x(f5 若， 1 1 | 4x 2 1 | 4x 则， 1 5()6f x 2 5()6f x ，即。 12 1()()1f xf x 12 |()()| 1f xf x 例 10、已知函数（t 为参数） 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 )2lg(2)(),1lg()(txxgxxf （1）写出函数的定义域和值域；)(xf （2）当时，求函数解析式中参数 t 的取值范围； 1 , 0x)(xg （3）当时，如果，求参数 t 的取值范围。 1 , 0x)()(xgxf 解：解：（1）函数的定义域为，值域为 R)(xf), 1( （2） 1 , 0, 02xtx . 0 t （3）当 txx tx xgxfx 21 02 )()(,10时 .)21() 10(21 max xxtxxxt 设 , 1,21, 1,21 2 mxmxmxxU则 . 2 8 1 ) 4 1 (222) 1(2 222 mmmmmU 当 所以。 . 1 ,)0( 1 max Uxm时1t 【模拟试题模拟试题】 （答题时间：30 分钟） 1、对函数作代换x=g（t） ，则总不改变f（x）值域的代换是 （ baxxxf 2 3)( ） ABttg 2 1 log)( t tg) 2 1 ()( Cg（t）=（t1）2Dg（t）=cost 2、方程f（x，y）=0 的曲线如图所示，那么方程f（2x，y）=0 的曲线是（ ） 21-1 -2 o y x A 2 1-1o y x B 1 -1-2 o y x C 2 1 -1 o y x D 1 -1-2 o y x 3 已知命题 p：函数的值域为 R，命题 q：函数)2(log 2 5 . 0 axxy 是减函数 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头若 p 或 q 为真命题，p 且 q 为假命题，则实数 a的取值范围是（ x ay)25( ） A、a1 B、a2 C1a2 D、a1 或a2 4 方程 lgxx3 的解所在的区间为（ ） A、 （0，1） B、 （1，2） C、 （2，3） D、 （3，+） 5、如果函数 f（x）x bxc 对于任意实数 t，都有 f（2t）f（2t） ，那么（ 2 ） A、f（2）f（1）f（4） B、f（1）f（2）f（4） C、f（2）f（4）f（1） D、f（4）f（2）m（x 1）对满足|m|2 的一切实数 m 的取值都成立 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头求 x 的取值 2 范围。 13、已知ABC 三内角 A、B、C 的大小成等差数列，且 tanAtanC2，又知顶点3 C 的对边 c 上的高等于 4，求ABC 的三边 a、b、c 及三内角。3 14、设 f（x）lg，如果当 x（，1）时 f（x）有意义，求实数 a 124 3 xx a 的取值范围。 15、已知偶函数f（x）=cossinxsin（x）+（tan2）sinxsin的最小值是 0，求f（x）的最大值及此时x的集合。 16 已知，奇函数在上单调。xR 32 ( )f xxaxbxc1,) （1）求字母应满足的条件；, ,a b c （2）设，且满足，求证：。 00 1,()1xf x 00 ()f f xx 00 ()f xx 试题答案试题答案 1、不改变f（x）值域，即不能缩小原函数定义域 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头选项 B，C，D 均缩小了 的定义域，( )f x 故选 A。 2、先作出f（x，y）=0 关于轴对称的函数的图象，即为函数f（x，y）=0 的图象，y 又f（2x，y）=0 即为，即由f（x，y）=0 向右平移 2 个单位 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头故选 ( (2), )0fxy C 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 3 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头命题 p 为真时，即真数部分能够取到大于零的所有实数，故二次函数 的判别 2 2xxa 式，从而；命题 q 为真时，。440a 1a 5212aa 若 p 或 q 为真命题，p 且 q 为假命题，故 p 和 q 中只有一个是真命题，一个是假命题 若 p 为真，q 为假时，无解；若 p 为假，q 为真时，结果为 1a0） ，则，解出 x2，再用万能公式，选 A； 2 2 1 2 x x 1 1 2 2 x x 1 5 7 设 cosxt，t1，1，则 at t1，1， 2 5 4 所以答案为：，1； 5 4 8、设长 x，则宽，造价 y41204x80801760， 4 x 16 x 答案：1760 元。 9、运用条件知：=2，且 (1) (1) ( ) f n f f n 2222 (1)(2)(2)(4)(3)(6)(4)(8) (1)(3)(5)(7) ffffffff ffff =16 2 (2)2 (4)2 (6)2 (8) (1)(3)(5)(7) ffff ffff 10、依题意可知，从而可知，所以有 2 12 12 40 0 0 bac b xx a c x x a 12 ,( 1,0)x x ，又为正整数，取， 2 12 40 ( 1)0 1 bac fabc c x x a 2 4bac bac ca , ,a b c1c 则，所以，1abab 22 444abacaa 从而，所以，又，所以，5a 2 420bac5 16b 5b 因此有最小值为 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 abc11 下面可证时，从而，所以，又，所以2c 3a 2 424bac5b 5acb ，所以，6ac11abc 综上可得：的最小值为 11 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 abc 11、分析：这是有关函数定义域、值域的问题，题目是逆向给出的，解好本题要运用复 合函数，把 f（x）分解为 u=ax +2x+1 和 y=lgu，并结合其图象性质求解 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头。 2 解：（1）的定义域是 R对一切实数 2 ( )lg(21)f xaxx 2 210uaxx 恒成立。x 因为 a=0 或 a0 不合题意，所以，解得 a1。 0 0 a （2）的值域是 R能取遍一切正实数 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 2 ( )lg(21)f xaxx 2 21uaxx 当 a0 时不合题意； 当 a=0 时，u=2x+1，u 能取遍一切正实数； 当 a0 时，其判别式 =224a10，解得 0a1。 所以当 0a1 时 f（x）的值域是 R。 12、分析：此问题由于常见的思维定势，易把它看成关于 x 的不等式讨论 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头然而，若变换 一个角度以 m 为变量，即关于 m 的一次不等式（x 1）m（2x1）m（x 1）在2，2上恒成立时求 m 的范 2 围 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头。 一般地，在一个含有多个变量的数学问题中，确定合适的变量和参数，从而揭示函数 关系，使问题更明朗化。或者在含有参数的函数中，将函数自变量作为参数，而参数作为 函数，更具有灵活性，从而巧妙地解决有关问题。 13、分析：已知了一个积式，考虑能否由其它已知得到一个和式，再用方程思想求解。 解：由 A、B、C 成等差数列，可得 B60； 由ABC 中 tanAtanBtanCtanAtanBtanC，得 tanAtanCtanB（tanAtanC1） （1）33 设 tanA、tanC 是方程 x （3）x20 的两根， 2 33 解得 x 1，x 2 12 3 设 A0 在 x（，1）上恒成立的不等式问题。 xx 解：由题设可知，不等式 12 4 a0 在 x（，1）上恒成立， xx 即：（）（） a0 在 x（，1）上恒成立 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 1 2 2x 1 2 x 设 t（） ，则 t， 1 2 x 1 2 又设 g（t）t ta，其对称轴为 t 2 1 2 t ta0 在，+）上无实根， 2 1 2 即 g（）（） a0，得 a 1 2 1 2 2 1 2 3 4 所以 a 的取值范围是 a 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 3 4 说明：对于不等式恒成立，引入新的参数化简了不等式后，构造二次函数，利用函数 的图像和单调性解决问题，其中也联系到了方程无解，体现了方程思想和函数思想 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头一般地， 我们在解题中要抓住二次函数及图像、二次不等式、二次方程三者之间的紧密联系，将问 题进行相互转化。 在解决不等式（）（） a0 在 x（，1）上恒成立的问题时，也可 1 2 2x 1 2 x 使用“分离参数法”：设 t（） ，t，则有 at t，所以 a 的 1 2 x 1 2 2 4 3 (， 取值范围是 a 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头其中最后得到 a 的范围，是利用了二次函数在某区间上值域的研究，也 3 4 可属应用