高考数学 妙用导数曲径通幽（通用）

妙用导数,曲径通幽 导数的主要作用是研究函数曲线的切线以及函数的单调性、极值和最值问题，实际上，有不少数学问题乍一看与导数无关，但是，细细品味，我们会发现妙用导数，有曲径通幽的神奇之处，令人回味无穷！类型一 三角函数的奇偶性问题若函数可导，则由两边对求导，得，即；由两边对求导，得，即.可得奇、偶函数的导数的性质：（1）可导奇函数的导数是偶函数；（2）可导偶函数的导数是奇函数.这一特征性质实现了函数奇偶性的相互转化，在解题中可灵活应用.例1 若是偶函数，则有序实数对可以是 . (写出你认为正确的一组数对即可).解析 求导得，由可导偶函数的导数特征性质得：是上的奇函数，所以，即，所以，故只要填写满足且的任意一组数对即可，如.评注 本题一般解题思路就是利用偶函数的定义，显然较为繁杂，而妙用导数处理此类问题，简洁、高效、快捷！变式1 若是偶函数,则 .类型二 三角函数中的最值、对称性问题设函数，则可化为，其中.于是，结合函数的图像易知：若时函数取得最值，即函数的图像关于直线对称，则函数在处的切线斜率为零，即.这个结论充分揭示了三角函数的最值与导数的紧密联系，在解题中妙用导数，可迅速求解.例2 （2020新课标卷）设当时，函数取得最大值，则_解析 由题设可知，又，所以，即，.于是，结合，解得或.经检验知：前者满足取得最大值，后者满足取得最小值.故所求.评注 设函数，若时函数取得最大值，则必有；若时函数取得最小值，则必有.变式2 若函数的图像关于直线对称，则实数_类型三 函数的零点个数问题由于函数的零点个数就是函数图像与横轴的交点个数，所以结合函数零点存在性定理可知：如果知道连续函数在闭区间上单调，且，那么函数在开区间上有唯一的一个零点（即零点个数为1）. 这个结论可以称之为函数零点唯一存在性定理，显然利用该结论时，必须明确函数的单调性，而函数的单调性借助导数知识加以分析比较简单.例3 已知函数，则函数在其定义域内的零点个数是 （ ）A.0 B.1 C.2 D.3解析 求导得，可知：当时，；当时，无论还是，易判断知均有成立.于是，当时，必有，所以函数在上单调递增.又因为，所以利用函数零点唯一存在性定理可知：函数在开区间上只有一个零点.从而结合函数在上单调递增，即得函数在其定义域内的零点个数是1.故选B.评注 本题具有一定的综合性，对能力的考查较强，解题关键是灵活利用“分类与整合思想”准确分析导数与零的大小关系.变式3 已知函数，则下列结论正确的是（ ）A.在上恰有一个零点B.在上恰有两个零点C.在上恰有一个零点 D.在上恰有两个零点类型四 多项式函数的系数求值问题令，设函数，因为，令，则有，例4 已知函数展开式中的一次项系数是 .解析 设函数，则，又.故函数展开式中的一次项系数是，答案为.评注 由于许多学生对多项式的乘法法则的理解不透彻，本题若应用多项式的乘法的法则直接求解，有一定的难度，而灵活地应用导数法处理，易于理解.变式4 设，则 .类型五 二项式中的系数的求和问题设函数，则由二项式定理可知.于是，借助求导、赋值的处理技巧可得许多有趣的结论.因为，(*)令，则有； 令，则有. 对(*)式两边同乘以，得，求导得，又，令，则有. 按照这样的处理思路（乘、求导、赋值），有兴趣的读者还可以继续探究.例5 已知，则 .解析 设函数，则求导得.又对，求导得.于是，取得.评注 本题具体求解时，也可以这样处理：直接对已知等式两边同时求导，然后再赋值.显然，整个解题的关键在于先求导（以为自变量），再赋值（注意赋值的灵活性）.变式5 若，则 ， .类型六 数列的求和问题某些较为复杂的数学问题，往往应用常规的方法比较繁杂，我们不妨根据待求结论的结构特征，构造新的函数巧妙应用导数，灵活地解决问题.例6 求解析 因为时，两边求导，得：，即为所求.评注 本题的常规方法是“错位相减法”，这里构造函数妙用导数，简洁、新颖、自然，毫无斧凿之迹，令人耳目一新！综上，应对某些复杂的数学问题时，关注导数的“非常规”应用，妙用导数具有入手容易、思路清晰、过程简洁的优势，有利于激发解题思维，沟通所学知识在分析、解决问题中的灵活运用，有利于从导数角度看透问题的本质，进一步理解数学本质，提升学生的数学素养！附：变式训练参考答案1. 答案 1 解析：参考例1的解析过程可知，故.2. 答案 解析：由题设可知，又，所以，解得.3. 答案 C 解析：求导得，可知：当时，；当时，无论还是，易判断知均有成立.于是，当时，必有，所以函数在上单调递减.又因为，所以利用函数零点唯