三次函数切线专题

三次函数切线问题一、过三次函数上一点的切线问题。设点P为三次函数图象上任一点，则过点P一定有直线与的图象相切。若点P为三次函数图象的对称中心，则过点P有且只有一条切线；若点P不是三次函数图象的对称中心，则过点P有两条不同的切线。证明 设 过点P的切线可以分为两类。1、 P为切点 ， 切线方程为：P不是切点，过P点作图象的切线，切于另一点Q（） 又 （1） 即 代入（1）式得 讨论：当时，得，当时，两切线重合，所以过点P有且只有一条切线。 当时，所以过点P有两条不同的切线。其切线方程为： 由上可得下面结论：过三次函数上异于对称中心的任一点作图象的切线，切于另一点，过作图象的切线切于，如此继续，得到点列-，则，且当时，点趋近三次函数图象的对称中心。证明：设过与图象切于点的切线为， 又 = 即 设 则 数列是公比为的等比数列， 即 。 （2）过三次函数外一点的切线问题。设点为三次函数图象外，则过点一定有直线与图象相切。（1）若则过点恰有一条切线；（2） 若且，则过点恰有一条切线；（3） 若且=0，则过点有两条不同的切线；（4）若且，则过点有三条不同的切线。其中证明 设过点作直线与图象相切于点则切线方程为 把点代入得：，设 令则因为恰有一个实根的充要条件是曲线与轴只相交一次，即在上为单调函数或两极值同号，所以或且时，过点恰有一条切线。有两个不同实根的充要条件是曲线与轴有两个公共点且其中之一为切点，所以且=0时，过点有两条不同的切线。有三个不同实根的充要条件是曲线与轴有三个公共点，即有一个极大值，一个极小值，且两极值异号。所以且时，过点有三条不同的切线。例题讲解：例1、已知函数，求过点的切线方程。例2、（2010湖北文数）设函数，其中a0，曲线在点P（0，）处的切线方程为y=1（）确定b、c的值。（）设曲线在点（）及（）处的切线都过点（0,2）证明：当时，（）若过点（0,2）可作曲线的三条不同切线，求a的取值范围。例3、已知函数,且 (1) 试用含的代数式表示b,并求的单调区间；（2）令,设函数在处取得极值，记点M (,)，N(,)，P(), ,请仔细观察曲线在点P处的切线与线段MP的位置变化趋势，并解释以下问题：（I）若对任意的m (, x)，线段MP与曲线f(x)均有异于M,P的公共点，试确定t的最小值，并证明你的结论；（II）若存在点Q(n ,f(n), x n1时, 当x变化时，与的变化情况如下表：x+单调递增单调递减单调递增由此得，函数的单调增区间为和，单调减区间为。当时，此时有恒成立，且仅在处，故函数的单调增区间为R当时，同理可得，函数的单调增区间为和，单调减区间为 综上：当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为；当时，函数的单调增区间为R；当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为.()由得令得由（1）得增区间为和，单调减区间为，所以函数在处取得极值，故M（）N（）。观察的图象，有如下现象：当m从-1（不含-1）变化到3时，线段MP的斜率与曲线在点P处切线的斜率之差Kmp-的值由正连续变为负。线段MP与曲线是否有异于H，P的公共点与Kmp的m正负有着密切的关联；Kmp=0对应的位置可能是临界点，故推测：满足Kmp的m就是所求的t最小值，下面给出证明并确定的t最小值.曲线在点处的切线斜率；线段MP的斜率Kmp当Kmp=0时，解得直线MP的方程为 令当时，在上只有一个零点，可判断函数在上单调递增，在上单调递减，又，所以在上没有零点，即线段MP与曲线没有异于M，P的公共点。当时，.所以存在使得即当MP与曲线有异于M,P的公共点 综上，t的最小值为2.（2）类似（1）于中的观察，可得m的取值范围为解法二：（1）同解法一.（2）由得，令，得由（1）得的单调增区间为和，单调减区间为，所以函数在处取得极值。故M().N() () 直线MP的方程为由得线段MP与曲线有异于M,P的公共点等价于上述方程在(1,m)上有根,即函数上有零点.因为函数为三次函数,所以至多有三个零点,两个极值点.又.因此, 在上有零点等价于在内恰有一个极大值点和一个极小值点,即内有两不相等的实数根.等价于 即又因为,所以m 的取值范围为(2,3)从而满足题设条件的r的最小值为2.作业：1、解：由，得，所以所求的切线方程为，即。2、错解：由，得，所以所求的切线方程为，即。 错因剖析：此处所求的切线只说经过P点，而没说P点一定是切点，于是切线的斜率与不一定相等。正解：设经过点P（1，2）的直线与曲线C相切于点，则由，得在点处的斜率，有在点处的切线的方程为。又因为点与点P（1，2）均在曲线C上，有，消去得，解得或，于是或，所以所求切线方程为或。3、设切点坐标为，则，又，得或2。再消去得，于是得或4。4、（I），依题意， 即2分 解得a=1，b=0. 4分 （II），当1x1时，f(x)0，故f(x)在区间1，1上为减函数，6分对于区间1，1上任意两个自变量的值，8分 （III）f(x)=3x23=3(x+1)(x1)， 曲线方程为y=x33x，点A（1，m）不在曲线上.设切点为M（x0，y0），则点M的坐标满足因，故切线的斜率为，整理得.过点A（1，m）可作曲线的三条切线，关于x0方程=0有三个实根.10分设g(x0)= ，则g(x0)=6，由g(x0)=0，得x0=0或x0=1.g(x0)在（，0），（1，+）上单调递增，在（0，1）上单调递减.函数g(x0)= 的极值点为x0=0，x0=112分关于x0方程=0有三个实根的充要条件是，解得3m2.故所求的实数a的取值范围是3m2.14分5、解：(1)过点a=-8,切线