高三数学导数在函数单调性与极值求解中的应用知识精讲

导数在函数单调性与极值求解中的应用715405 陕西省韩城市龙门高中 张斌导数是研究函数的工具，导数进入新教材之后，给函数问题注入了生机和活力，开辟了许多解题新途径，拓展了高考对函数问题的命题空间。所以把导数与函数综合在一起是顺理成章的事情，试题的命制往往融函数，导数，不等式，方程等知识于一体，通过演绎证明，运算推理等理性思维，解决单调性，极值，最值，切线，方程的根，参数的范围等问题，这类题难度很大，综合性强，内容新，背景新，方法新，是高考命题的丰富宝藏。解题中需用到函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化与划归思想。本文仅以历年高考试为例谈谈导数在函数单调性与极值求解中的应用问题问题，供鉴赏。一、 导数在单调性中的应用：函数的单调性是函数最基本的性质之一，是我们研究函数所要掌握的最基本的知识.它在中学数学中的用处是非常广泛的，其思维方法有：一、利用增（减）函数的定义判断单调性；二、导数法。利用在内可导的函数在上递增（或递减）的充要条件是（或），恒成立（但在的任意子区间内都不恒等于0）。方法一化简较为繁琐，比较适合解决抽象函数的单调性问题，而用导数知识来判断函数的单调性既快捷又容易掌握.，特别是对于具体函数更加适用。1. 利用导数求单调区间：例1.函数y=xlnx在区间(0，1)上是A. 单调增函数B. 单调减函数C.在(0，)上是减函数，在(,1)上是增函数D.在(0，)上是增函数，在(,1)上是减函数分析：本题主要考查利用求导方法判定函数在给定区间上的单调性.解：y=lnx+1,当y0时，解得x.又x(0,1),x1时，函数y=xlnx为单调增函数.同理，由y0且x(0,1)得0x,此时函数y=xlnx为单调减函数.故应选C.答案：C例2.函数y=sin2x的单调递减区间是_.分析：本题考查导数在三角问题上的应用.解：y=2sinxcosx=sin2x. 令y0,即sin2x0，2k2x2k,kZ. kx0,所以x=1.在(0, +)上，由于只有一个极小值，所以它也是最小值，从而函数在(0，+)上的最小值为y=f(1)=4.答案：A2.利用最（极）值求参数范围：例8.若函数y=x33bx+3b在(0，1)内有极小值，则A.0b1B.b0D.b0, x=.又x(0,1), 01.0b1.答案：A3.最（极）值的综合应用：例9已知函数是函数的一个极值点，其中，。（1）求与的关系表达式；（2）求的单调区间；（3）当时，函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于，求的取值范围。分析：这类题目解决的关键在于深刻理解并灵活运用导数的知识，第1小题根据极值点处导数为零，可确定与的关系；第2小题求函数的单调区间可根据求导法得到，列出表格，答案一目了然；第3小题根据导数的几何意义结合一元二次函数的性质即可得到结论。解：（1） 由是的一个极值点，知，即， （2）由（1），得 由知，当变化时，与的变化如下：100递减极小值递增极大值递减由上可知, 在区间和上递减,在区间上递增.(3)由已知得,即,即当时,有. 设,其函数开口向上,由题意式恒成立,所以即解之得, ,又,所以.即的取值范围为.例10.已知函数恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是 （）求函数的另一个极值点； （）求函数的极大值M和极小值m，并求时k的取值范围.【分析及解】（I）是函数的一个极值点，即得 由此可知 ，Ock1 ，即，由此方程的一个根为，另一个根由韦达定理容易计算为或 函数的另一个极值点为（或）（II）由（I）知，现画一个函数图帮助理解，且，则图象如图所示，或， 当，即时，当或时，当时，上是增函数，在上是减函数，又，即，解之得满足。当，即时，当或时，当时，上是减函数，在上是增函数，又，即，解之得或，结合，综上可知，所求k的取值范围为小结：通过可以看出对于这部分知识的学习，要认识到新课程中增加了导数内容的作用，在学习中要明确导数作为一种工具在解答函数的单调性，极值等方面的起着不可替代的作用，今后需要全面学习，抓住导数基础知识学习注意精