高中数学用构造法解三角求值题学法指导

高中数学高中数学用构造法解三角求值题用构造法解三角求值题 用构造法求值极具巧思，关键是根据题中信息恰当创作一个新形式，使复 杂问题简捷获解。本文举例介绍几种方法，供大家参考。 一、构造互余式 例 1. 求的值。sinsinsinsin10305070 解：设 A sinsinsinsin10305070 B coscoscoscos10305070 则 AB 1 16 2060100140sinsinsinsin 1 16 70301050 1 16 coscoscoscos B ， BA 0 1 16 10305070 1 16 sinsinsinsin 二、构造和差式 例 2. 求的值。sincossincos 22 10401040 解：设，则sincos1040abab， a b ababab ab ab 1 2 10403020 1 2 20 1 2 10403020 3 2 20 10401040 3 3 4 20 3 4 20 3 4 22 22 22 22 sincossincoscos sincoscossinsin sincossincos cossin 三、构造方程（组） 例 3. 已知，求。sincos 1 5 0，cot 解法一：将的两边平方，得：sincos 1 5 sin cos 12 25 构造方程，则xx 2 1 5 12 25 0 与是此方程的两个根。sincos 解此方程，得xx 12 4 5 3 5 ， 由知 0，sin 0 ，sincoscot 4 5 3 5 3 4 解法二：由得，sincos 1 5 551sincos 设，x 500sin，y 5cos 于是有，消去 y，得： xy xy 22 25 1 xx 2 120 解之，得：xx 430，舍 ，xy y x 43 3 4 cot 四、构造图形 例 4. 已知，且，试求与的值。sincos 60 169 42 sincos 解：，且 60 169 125 1313 12513 222 依数字特征，构造 RtABC（如图）。 由，知 42 sincos 据图形得sincos 12 13 5 13 ， 五、构造数列 例 5. 已知，试求的值。sincos 2 3 0，32cossin 解：构造等差数列，则sincos， 1 3 （d 为公差）sincos 1 3 1 3 dd， 两式平方、相加，得 1 3 1 3 1 22 dd 解之，得d 7 18 14 6 由知 0，sin 1 3 0d 即dd 1 3 14 6 ， 323 1 3 14 6 2 1 3 14 6 1014 6 cossin 例 6. 在锐角ABC 中，已知 ABC，且，lgtanlgtanlgtanACB 2 ，试求的值。tan()AC 2tan()AC 解：及090ABClgtanlgtanlgtanACB 2 ，且0 tantantanABCtantantanACB 2 构造等比数列tantantanABC， 则，（q 为公比，且）tan tan tantanA B q CqB，q 1 tantan()tan()BACAC 2 又tan() tantan tantan tantan tan AC AC AC q BqB B q q 1 1 1 2 2 14 2 2 ，即 2 26 q qqq 2 310 解之，得（，舍）q 35 2 q 35 2 1 tan