高中数学总复习教学案02：不等式（通用）

高中数学总复习教学案第2单元：不等式本章知识结构不 等 式不等关系与不等式基本性质比较大小问题求范围问题一元二次不等式及其解法二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题简单的线性规划问题基本不等式-最大值最小值问题二元一次不等式（组）与平面区域重点难点聚焦1理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值；掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解决一些实际问题； 2.能用一元二次不等式组表示平面区域，并尝试解决简单的二元线性规划问题，认识基本不等式及其简单应用；体会不等式、方程及函数之间的关系。本章应着重注意的问题1.不等式的性质是不等式理论的基础，在应用不等式的性质进行论证时，要注意每一个性质的条件。2.一元二次不等式的解法是根据一元二次方程根与二次函数图像求解的，在求解含参数的一元二次不等式时，要注意相应方程根的情况的讨论。3.应用基本不等式求函数最值时，有三个条件：一是a、b为正；二是a+b与ab有一个为正值；三是等号要取到。这三个条件缺一不可，为了达到使用基本不等式的目的，常常需要对函数式（代数式）进行通分、分解等变形，构造和为定值或积为定值的模型。高考分析及预测本章内容在高考中属主体内容，以考查不等式性质、解法和最值方面的应用为重点，多数情况是在函数、数列、几何、实际应用题等综合型试题中考查，所占比例为10%15%。小题属低中档题、大题属中档以上题，预计在2020年高考中，对不等式的性质和解不等式特别是含参数的不等式的解法，仍会继续渗透在其知识中进行考查。对不等式的应用，突出渗透数学思想方法和不等式知识的综合应用，特别是求最值问题、不等式证明问题，将继续强调考查逻辑思维推理能力，尤其是不等式与函数、数列、三角、解析几何的综合题型将会继续出现在高考的中、高档题中。2.1 不等关系与不等式 新课标要求：1.通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景。2.理解不等式的概念并能用作差法比较两个实数的大小。重点难点聚焦重点：用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。理解不等式（组）对于刻画不等式的意义和价值。难点：用不等式（组）正确表示出不等关系。 高考分析与预测1.不等式的8个性质仍是今后高考的热点，它主要用于比较两个实数或式子的大小，以及用于证明一些不等式。它常常与函数、三角、数列、充要条件、几何等知识结合运用。主要以选择题、填空题的形式出现. 2.分类讨论问题已成为高考考查学生能力的热点，它主要也是运用了不等式的性质进行分类，分类要合理，做到不重不漏，然后总结。 题组设计再现型题组1.对于实数a，b，c，下列命题中假命题的是 （ ）A.若ab,则acbcB.若acbc,则abC.若cab0,则D.若ab,则a0,bb,cd,则acb0,cd0,则 (3)若ab,cb-d (4)若ab,则ab,(n且n)3.已知f(x)=ax-c,且-4f(1)-1,-1f(2)5,求f(3)的取值范围。巩固型型题组4.若a0b-a,cdbc; (2) +b-d ;(4)a(d-c)b(d-c)中能成立的个数是 （ ）A.1 B.2 C.3 D.45.已知12a60,15b36,则a-b及的取值范围分别是_、_。提高型题组 2m+n4 , 0m1 , 6.设甲：m,n满足 乙：m,n满足 那么 （ ） 0mn3 , 2n3 , A.甲是乙的充分不必要条件B.甲是乙的必要不充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件7.（2020年，全国）若a=,b= ,c= 则 ( ) A.abc B.cba C.cab D.ba0,bc-ad0, -0（其中a,b,c,d均为实数），用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题个数是 （ ）A.0 B.1 C.2 D.3反馈型题组9.若ab0,则下列不等式成立的是 （ ）A.ab . B. ab . C. ab . D. ab . 10.若x(e,1),a=ln x, b=2ln x, c=lnx, 则 （ ） A.abc B.cab C.bac D.bca11.（2020上海理，13）已知a,b为非零实数，且ab则下列命题成立的是（ ）A.ab B. a b ab C. D. 12.(2020,莱芜模拟)已知-1a0,A=1+a,B=1-a,C=,试比较A、B、C的大小. 2.2 一元二次不等式及其解法新课标要求：1.掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解决一些实际问题。经历从实际情景中抽象出一元二次不等式模型的过程. 2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系，会解一元二次不等式。重点难点聚焦重点：从实际问题中抽象出一元二次不等式模型，围绕一元二次不等式的解法展开，突出数形结合的思想。难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。 高考分析与预测1.在高考中，一元二次不等式作为一种工具一定要考查，选择题、填空题、解答题都有体现，在分值中约占10%左右，要求会解一元二次不等式。2.含参数不等式的解法要实施分类讨论思想，避免重复和遗漏，三个“二次”的有机结合，体现化归思想，在高考中占有重要地位，注意体会运用。 题组设计再现型题组1. 不等式的解集为 ( ) B. C. D. 2.(2020.山东文科卷) 不等式的解集是 ( ) A. B. C. D. 3.（2020.江苏文科卷）设集合A=，则A中有_个元素.巩固型题组4. 不等式的解集是，则的值是_.A. 14 B. 10 C. 10 D 145. 关于的不等式的解集是R，则的取值范围是_.A. B. C. D. 6. 解不等式.提高型题组7. 如果的解集为，那么对于函数f(x)=应有 ( )A. f(5)f(2)f(-1) B. f(2)f(5)f(-1) C. f(-1)f(2)f(5) D. f(2)f(-1)0表示的区域在直线2x-y-6=0的（ ）A：左上方 B:右下方 C:左下方 D:右下方2. 若点（1,3）和（-4,-2）在直线2x+y+m=0的两侧，则m的取值范围是：（ ）A：m10 B:m=-5或m=10 C:-5m0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值为（ ）A: B: C:4 D: C( 1,) A(5,2) B(1,1) x+y05.(08年全国文) 若x,y满足约束条件 x-y+30,则z=2x-y的最大值为 0x3 x+y-206.（2020年浙江）在平面直角坐标系中，不等式组 x-y+20,表示的平面区域的面积是( ) x2 A:4 B:4 C:2 D:2提高型题组： x+2y10 2x+y37.（07年山东)设D是不等式组 0x4,表示的平面区域，则D中的点到直 y1 线x+y=10距离的最大值 x08.（08年浙江）若a0,b0,且当 y0, 时，恒有ax+by1,则以a,b为坐标的点x+y1所形成的平面区域的面积是（ ） A: B: C:1 D:9.（07年四川）某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍，且对每个项目的投资不能低于5万元.对项目甲的投资每1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为（ ）A:36万元 B:31.2万元 C:30.4万元 D:24万元反馈型题组10.图中的阴影部分可用下列那一个二元一次不等式组表示( ) y1 y-1 yA: B: 2x-y+20 2x-y+20 y1 y-1C: D: x 2x-y+20 2x-y+20 -1 x-y+2011.（07年辽宁）已知变量x,y满足约束条件 x1,则的取值范围是( ) x+y-70A:,6 B:(-, 6,+) C: D: (-,36,+) yx12.（08年全国文）设变量x,y满足约束条件 x+2y2,则x-3y的最小值为（ ） x-2A:-2 B:-4 C:-6 D:-813.某实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35千克,价格是140元；一种是每袋24千克，价格为120元。在满足需要的条件下，最少要花费 元。14.某人上午7时，乘摩托艇以匀速nmile/h(420)从A港出发50nmile的B港去，然后乘汽车以匀速km/h(30100)自B港向距300km的C市驶去，应该在同一天下午4至9点到达C市。设乘汽车、摩托艇去所需要的时间分别是x小时,y小时。(1)作图表示满足上述条件的x,y的范围；(2)如果已知所需的经费p=100+3(5-x)+2(8-y)(元)，那么分别是多少时走的最经济？此时花费多少元？ 2.4 ：基本不等式新课标要求：理解均值定理及均值不等式的证明过程能应用均值不等式解决最值、证明不等式、比较大小、求取值范围等问题在使用均值不等式过程中，要主意定理成立的条件，为能使用定理解题，要采用配凑的方法，创造条件应用均值不等式。重点难点聚焦通过运用基本不等式解决实际应用性问题，提高应用数学手段解决实际问题的能力与意识。本节教学重点是应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程。难点是应用基本不等式求最大值和最小值。 高考分析与预测基本不等式是高考必考内容，命题经常出现在选择题、填空题中，大题一般不单独命题，但常与函数、实际问题相联系，可以说贯穿与高考的全部内容中。所以，要求我们熟练掌握二维均值不等式的形式及其内涵，以及利用基本不等式求最值应该满足的三个条件：“一正、二定、三相等”。也要注意基本不等式的灵活变形，如a,bR，有(a+b)()4等，高考也常以基本不等式的相关推论出一些开放题。 题组设计再现型题型1.设x,y为正数，(x+y)()的最小值为（ ）A：6 B:9 C:12 D:15下列命题正确的是（ ）A：若xR，则x2 B:若x0，则x-2C:若x0,则6 D: 若x4,则6 设a,b为不相等的正数,那么式子、中最小者与最大者分别是( ) A: 与 B:与 C: 与D:与2.lgx + lgy=2,则的最小值为3.已知x0,y0且x+2y+xy=30,求xy的最大值巩固型题组4.已知x0,y0，lgx + lgy=1，求的最小值。5.已知a0,b0,c0且a+b+c=1,求证96. 如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为18000cm2,四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm），能使矩形广告面积最小？ 提高型题组7.已知a0,b0，a+b=1则的取值范围是( ) A:( 2,+) B:2,+) C:(4,+) D: 4,+)8.设a0,b0给出下列不等式 a+1a (a)(b)4 9 a+96a a+1+2其中恒成立的是反馈型题组9.已知正数a,b满足ab=4，那么2a+3b的最小值为( ) A:10 B:12 C:4 D:4设x,yR，且x+y=3，则2+2的最小值为( )A:6 B:4 C:2 D:2在下列函数中，最小值为2的是( ) A:y=x+ B:y=3+3 C:y=lgx + (0x1) D:y=sinx+(0x)10.已知x,求函数y=4x-2 +的最大值为（2020年高考山东卷）函数考山东卷）函数y=log-1(a0且a1)的图像恒过定点A,若点A在直线mx+ny=0,其中mn0,则的最小值为某公司租地建仓库，每月土地占用费仓库，每月土地占用费y与仓库到车站的距离成反比，如果距离车站10km处建仓库，这两项费用y和y分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在车站 处。11.设椭圆中心在坐标原点，是它的两个顶点，直线与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点（1）若，求的值；（2）求四边形面积的最大值 答案部分2.1 不等关系与不等式一、再现型题组1【提示或答案】A【基础知识聚焦】考查不等式基本性质的运用。2【提示或答案】（3）是假命题，（1）（2）（4）是假命题【基础知识聚焦】考查不等式基本性质的运用。3【提示或答案】解：f(1)=a-c,f(2)=4a-c,a=f(2)-f(1),c=f(2)- f(1).f(3)=9a-c=f(2)-f(1)-1f(2)5-f(2). -4f(1)-1, -f(1) + 得-+f(3)+ -1f(3)20【点评】解此类题的常见错误是依题意得-4a-c-1 -14a-c5 ,由、进行加减消元得 0a3,1c7. 由f(3)=9a-c 得 -7f(3)26其错误原因在于由, 得两式等号成立的条件不相同。另外，此题还可用线性规划来解。二、巩固型题组4 解答：C【点评】考查不等式基本性质，此类题目可用特殊值法。5解答：-24 a-b 45 ,4【点评】此类问题应严格按照不等式基本性质处理。三：提高型题组6解答：B【点评】本题以不等式性质为载体考查充要条件。7解答：C【点评】作差法是比较大小常用方法。8解答：D【点评】注意不等式性质使用的条件。四：反馈型题组9解答：C【点评】此类题目可用特殊值法。10解答：C【点评】正确运用对数的性质是解本题的关键。11解答： C【点评】结合题目选项选用不等式性质。12解答：CAB。 不妨设a= -, 则A=, B=，C=2。由此猜想CAB，再作差验证。【点评】作差法是比较大小常用方法。小结：熟悉不等式性质，用不等式性质解题，用作差法比较大小是本节的重点。应用不等式要特别注意成立的条件。2.2 一元二次不等式及其解法一：再现型题组1.【提示或答案】A 【基础知识聚焦】考查一元二次不等式的解法2. 【提示或答案】D【基础知识聚焦】考查简单的分式不等式的解法。3.【提示或答案】6个 【基础知识聚焦】考查一元二次不等式的解法二：巩固型题组4. 解答：D 【点评】考查一元二次不等式与二次方程之间的关系。5. 解答：C 【点评】考查一元二次不等式与二次函数图象之间的关系。6. 解答： 【点评】借助数轴可减少错误。 变式训练：解不等式.答案：三：提高型题组7. 解答：D 【点评】考查一元二次不等式与二次函数图象之间的关系。 8. 解答：1.2.3.4.【点评】对含字母的不等式应掌握对字母的讨论。四：反馈型题组9. 解答： A【点评】本题要借助于数轴求交集。10. 解答：【点评】本题要借助于数轴讨论两集合的关系。11. 解答：D【点评】不要忽略判别式大于或等于零。12. 解答： 【点评】换元法是高中数学的一种基本方法，另外，要注意真数大于零小结：解一元二次不等式要充分发挥相应二次函数图象的作用。2.3 二元一次不等式(组)与简单线性规划问题 一：再现型题组1. 【提示或答案】D 【基础知识聚焦】考查用特殊点判断二元一次不等式表示的平面区域。2. 【提示或答案】 C【基础知识聚焦】直线Ax+By+C=0两侧的点(x,y)代入Ax+By+C所得实数符号相反。3.【提示或答案】11【基础知识聚焦】考查利用线性规划求目标函数最大值。二：巩固型题组 4. 解答：B 【点评】此题利用最优解在可行域边界上取得。 5. 解答：9【点评】注意目标函数中y的符号为负号，否则会求成最小值。 6. 解答：B 【点评】考查二元一次不等式组表示的平面区域。 三：提高型题组7. 解答：4【点评】此题可通过比较题中各直线的斜率以确定哪个点到直线x+y=10距离最大。 8. 解答:C 当a=b=1时，满足x+y1，且可知0a1,0b1,点P(a,b)所形成的平面区域为边长为1的正方形，所以面积为1。【点评】本题关键是确定点所形成的区域形状。四：反馈型题组9. 解答：B 【点评】审清题意列出约束条件是解答本题的关键。 10. 解答：C 【点评】考查二元一次不等式组表示的平面区域。 11. 解答：A 【点评】利用的几何意义。12. 解答：D 【点评】注意目标函数中y的符号为负号。13. 解答：500 【点评】此题为不等式的整数解问题，列出不等式后验证即可。14（1）依题意得=，=，420，30100。 所以，3y10 ，y.由于乘汽车、摩托艇所需的时间和x+y应在9到14个小时之间，即9x+y14，因此，满足的点(x,y)的存在范围是图中阴影部分（包括边界）。 （2）12.5; 30; 93元 14 y 9 0 3 9 10 14 x【点评】理解题意是解决本题关键，将实际问题转化为线性规划问题解决。 3.4 ：基本不等式一：再现型题组【提示或答案】B C B【基础知识聚焦】考查基本不等式及其成立的条件。 变式训练：若0ab,且a+b=1,试判断，a,b,2ab,a+b的大小顺序。 （答案： a2ab a+bb）2. 【提示或答案】 【基础知识聚焦】应用基本不等式求最值时不能只注意结果而忽视了定理成立的条件。3. 【提示或答案】30=x+2y+xy2+xy即xy+2-300,则00,a+b=1,求证： （1）8； （2）（1+）（1+）96. 解答：本小题主要考查根据实际问题建立数学模型，以及运用函数、不等式等知识解决实际问题的能力.（满分12分）解法1：设矩形栏目的高为a cm，宽为b cm，则ab=9000.广告的高为a+20，宽为2b+25，其中a0，b0.广告的面积S(a+20)(2b+25)2ab+40b+25a+50018500+25a+40b18500+2=18500+当且仅当25a40b时等号成立，此时b=,代入式得a=120，从而b=75.即当a=120，b=75时,S取得最小值24500.故广告的高为140 cm,宽为175 cm时，可使广告的面积最小.解法2：设广告的高为宽分别为x cm，y cm，则每栏的高和宽分别为x20，其中x20，y25两栏面积之和为2(x20),由此得y=广告的面积S=xy=x()x,整理得S=因为x200，所以S2当且仅当时等号成立，此时有(x20)214400(x20)，解得x=140，代入y=+25,得y175，即当x=140，y175时，S取得最小值24500，故当广告的高为140 cm，宽为175 cm时，可使广告的面积最小.【点评】弄清问题中的数量关系，设出变量列出目标函数是解决应用问题的关键。三：提高型题组7. 解答：D 【点评】构造基本不等式求最值。 8. 解答：【点评】注意基本不等式成立的条件，特别是等号成立的条件。四：反馈型题组9. 解答：D B B 【点评】注意基本不等式成立的条件。10. 解答： 1 8 5【点评】变形应用基本不等式时，要注意题设条件。11. 解答：（）解：依题设得椭圆的方程为，直线的方程分别为，2分如图，设，其中，DFByxAOE且满足方程，故由知，得；由在上知，得所以，化简得，解得或6分（）解法一：根据点到直线的距离公式和式知，点到的距离分别为，9分又，所以四边形的面积为 =，当，即当时，上式取等号所以的最大值为12分解法二：由题设，设，由得，故四边形的面积为9分，当时，上式取等号所以的最大值为12分【点评】本题是解析几何的综合题，在第二问中考查了利用基本不等式（2ab+）求最值。小结：1、在应用基本不等式求最值时，一定要注意基本不等式成立的条件。 2、在应用题中，弄清问题中的数量关系，抽象出数学模型，再用基本不等式求解。 45分钟不等式单元综合检测一、选择题.1、若那么下列各式中正确的是（ ） 2、已知中最大的为（ ） 3、在直角坐标系内，满足不等式x2-y20的点(x,y)的集合(用阴影表示)是（ ）4、不等式的解集是，则的值等于（ ）A14 B14 C10 D10 5、已知那么的最大值为 ( ) 6、已知a0,且a1,若P=log（a-1）,Q=log(a-1),则P，Q的大小关系为（ ）A. PQ B. Py-n,中真命题的序号是_。8、设动点坐标（x，y）满足（xy+1）（x+y4）0，x3，则x2+y2的最小值为_。9、设x0, y0, x2+=1,则的最大值为_10、关于x的一元二次不等式的解集为R，则a的取值范围为_三、解答题11、，问是否存在正整数，使不等式恒成立？如果存在，求出所有值；如果不存在，试说明理由。12、