高三数学解析几何复习：曲线与方程人教实验版（B）知识精讲

高三数学解析几何复习：曲线与方程人教实验版（B）【本讲教育信息】一. 教学内容：解析几何复习：曲线与方程二. 教学目的1、理解曲线的方程及方程的曲线的概念，掌握求曲线方程的几种常见方法；2、理解坐标法思想的本质。三. 教学重点、难点曲线的方程及方程的曲线的概念，求曲线方程的几种常见方法；坐标法思想的本质及应用。四. 知识分析【知识梳理】1、一般地，如果曲线C上点的坐标都是方程的解，且以方程的解为坐标的点都在曲线C上，那么，方程叫做曲线C的方程，曲线C叫做方程的曲线2、通过研究方程的性质间接地来研究曲线性质，我们把这种借助坐标系研究几何图形的方法叫做坐标法3、平面解析几何研究的两个主要问题：（1）根据已知条件，求出表示曲线的方程；（2）通过曲线的方程研究曲线的性质4、求曲线方程的一般方法（五步法）求曲线（图形）的方程，一般有下面几个步骤：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点M的坐标；（2）写出适合条件p的点M的集合PM|：（3）用坐标表示条件，列出方程；（4）化方程为最简形式；（5）说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上。5、求曲线的交点 由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几个解，两条曲线就有几个交点，方程组无解，两条曲线就没有交点也就是说两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题【要点解析】1、用直接法求曲线方程是解析几何中最重要的方法在求解时，如果题设条件中未给出坐标，要建立适当的坐标系，选择适当坐标系的原则是“避繁就简”，一般地：（1）若条件中只出现一个定点，常以该点为坐标原点；（2）若已知两定点，常以这两定点的中点为原点，以两定点所在的直线为坐标轴；（3）若已知两条互相垂直的直线，常以它们为坐标轴建立直角坐标系；（4）若已知一定点和一定直线，常以定点到定直线的垂线段的中点为原点，以点到直线的垂线的反向延长线为x轴建立直角坐标系；（5）若已知定角常以定角的顶点为原点，定角的平分线为x轴建立直角坐标；（6）坐标系建立的不同，同一曲线在不同坐标系中的方程也不同，但它们始终表示同一曲线 2、求曲线轨迹方程的常用方法： （1）直接法：如果题目中的条件有明显的等量关系或者可以推出某个等量关系，即可用求曲线方程的五个步骤直接求解（2）定义法：如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可依定义写出轨迹方程（3）代入法：如果动点依赖于另一动点，而又在某已知曲线上，则可先列出关于的方程组，利用表示，把代入已知曲线方程即得所求（4）参数法：如果动点的坐标之间的关系不易找到，可考虑将用一个或几个参数来表示，消去参数即得其轨迹方程（5）交轨法：写出动点所满足的两个轨迹方程后，组成方程组消参即可得解，此法常适用于求两动直线交点的轨迹方程3、求曲线的方程与求轨迹是有不同要求的，若是求轨迹则不仅要求出方程，而且还需要说明和讨论所求轨迹是什么样的图形，在何处，即图形的形状、位置、大小都需说明、讨论清楚。求“轨迹”时首先要求出“轨迹方程”，然后再说明方程的轨迹图形，最后“补漏”和“去掉增多”的点，若轨迹有不同的情况，应分别讨论，以保证它的完整性4、描绘曲线的图形要注意曲线范围的研究及曲线的对称性，或利用基本的曲线图形【典型例题】 例1. （直接法求曲线方程）ABC的顶点A固定，点A的对边BC的长是，边BC上的高为b，边BC沿一条定直线移动，求ABC外心的轨迹方程。解析：以BC所在定直线为x轴，过A作x轴的垂线为y轴，建立直角坐标系，则A点的坐标为（0，b），设ABC的外心为M（x，y）。作MNBC于N，则MN是BC的垂直平分线。|BC|=2a，|BN|=a，|MN|=|y|，又M是ABC的外心，M而，。化简，得所求轨迹方程为。点评：（1）本例是一道典型的用直接法求曲线方程的题目，难度中等，解本题的关键是建立适当的直角坐标系，充分利用三角形外心的性质。（2）本例的易错处是利用列方程，而化简后会发现得到的是一个恒等式，原因是在求的长度时已利用了|BM|=|CM|这个等量关系。（3）对于本例，在建立直角坐标系时，也可把BC边所在定直线作为y轴，过A点与定直线垂直的直线作为x轴，此时方程将有所变化。 例2. （代入法求曲线方程）已知ABC的顶点A，B的坐标分别为A（0，0），B（6，0），顶点C在曲线上运动，求ABC重心的轨迹方程。解析：设G（x，y）为所求轨迹上任一点，顶点C的坐标为，则由重心坐标公式，得： 因为顶点C在曲线上，所以有整理，得：，即为所求轨迹方程。点评：（1）本例是求轨迹方程中的常见题型，难度适中，本题解法称为代入法（或相关点法），此法适用于已知一动点的轨迹方程，求另一动点轨迹方程的问题。（2）应注意的是，本例中曲线上没有与A，B共线的点，因此，整理就得到轨迹方程；若曲线方程为，则应去掉与A，B共线时所对应的重心坐标。 例3. （参数法求曲线方程）抛物线的焦点为F，过点（0，-1）作直线交抛物线于不同两点A，B，以AF，BF为邻边作平行四边形FARB，求顶点R的轨迹方程。解析：设直线：AB：y=kx-1，A（，），B（），R（x，y），由题意F（0，1）。由，可得。又AB和RF是平行四边形的对角线，。而，消去k得。由于直线和抛物线交于不同两点，=，或。或。顶点R的轨迹方程为，且。点评：如果求轨迹的动点P（x，y）的坐标之间的关系不易找到，也没有相关信息可用时，可先考虑将x，y用一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程，此法称为参数法。参数法中常选变角、变斜率等为参数。注意参数的取值范围对方程中的x和y范围的影响。 例4. （2020广东，18，14分）设函数分别在、处取得极小值、极大值，平面上点A、B的坐标分别为、。该平面上动点P满足，点Q是点P关于直线的对称点。求：（1）点A、B的坐标；（2）动点Q的轨迹方程。解析：（1）对求导得，令y=解得。当时，；当时，；当时，；所以在处取得极小值0，在处取得极大值4，即点A、B的坐标分别为（-1，0）、（1，4）。（2）解法一：设P（x，y），则，故由即。所以P的轨迹是以C（0，2）为圆心，半径为3的圆。点Q是点P关于直线的对称点。动点Q的轨迹是一个以为圆心，半径为3的圆，其中是点C（0，2）关于直线的对称点，即直线过的中点，且与垂直，于是有即故动点Q的轨迹方程为。解法二：设P（x，y），则，故由，即。（*）设点Q的坐标为Q（u，v），Q、P关于直线对称，与直线l垂直，于是有。（1）因为PQ的中点在l上，所以有。（2）由（1）、（2）可解得代入方程（*）得，化简得：。故动点Q的轨迹方程为。【模拟试题】 1. 若ABC的两个顶点B、C的坐标分别是（-1，0）和（2，0），而顶点A在直线上移动，则ABC的重心G的轨迹方程是A. B. C. D. 2. 已知点P（-1，2），点M在直线上运动，Q是线段MP延长线上一点，且|MP|=|PQ|，则Q点的轨迹方程是A. B. C. 0D. 3. 已知A（0，7），B（0，-7），C（12，2），以C为一个焦点作过A、B的椭圆，椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是A. B. C. D. 4. 设，是椭圆的长轴两个端点，是垂直于的弦的端点，则直线与交点的轨迹方程是A. B. C. D. 5. 已知点A（-2，0）、B（3，0），动点P（x，y）满足，则点P的轨迹是A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线 6. 已知两定点A（-2，0），B（1，0），如果动点P满足|PA|=2|PB|，则点P的轨迹所包围的面积等于A. B. C. D. 7. 已知两点M（-2，0）、N（2，0），点P为坐标平面内的动点，满足，则动点P（x，y）的轨迹方程为A. B. C. D. 8. 以下四个关于圆锥曲线的命题中设A，B为两个定点，k为非零常数，若，则动点P的轨迹为双曲线；过定圆C上一定点A作圆的动弦AB，O为坐标原点，若，则动点P的轨迹为椭圆；方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；双曲线与椭圆有相同的焦点。其中真命题的序号为_（写出所有真命题的序号）。 9. 已知A（0），B是圆F：=4（F为圆心）上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于点P，则动点P的轨迹方程为_。 10. 如图所示，平面中两条直线和相交于点O，对于平面上任意一点M，若p、q分别是M到直线和的距离，则称有序非负实数对（p、q）是点M的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是（1，2）的点的个数是_。 11. （2020江西，21，12分）如图所示，M是抛物线上上的一点，动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点，且MA=MB。（1）若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值；（2）若M为动点，且EMF=，求EMF的重心G的轨迹方程。 12. （2020江西，21，12分）如图所示，椭圆Q：（0）的右焦点为F（c，0），过点F的一动直线m绕点F转动，并且交椭圆于A、B两点，P为线段AB的中点。（1）求点P的轨迹H的方程；（2）若在Q的方程中，令，。设轨迹H的最高点和最低点分别为M和N，当为何值时，MNF为一个正三角形？试题答案 1. C 设A（，），G（x，y），则消去得，故选C。 2. D 设Q（x，y），则M（），代入并整理得，故选D。 3. A 由椭圆定义得点F的轨迹是双曲线的一支。故选A。 4. C 设，则，则有即：，故选C。 5. D ，化简，得，故选D。 6. C 设P（x，y），由|PA|=2|PB|，整理得，即，点P轨迹是以2为半径的圆，所围成的面积为，故选C。 7. B ，。从而有，即，平方化简得，故选B。 8. 命题不一定符合双曲线，双曲线要求。取圆，A（），B（），由，即，代入圆的方程有。P点轨迹是圆。 9. 由题意：|PA|=|PB|=|BF|-|PF|，|PA|+|PF|=|BF|=。点P的轨迹是以A，F为焦点的椭圆，长轴长为2，。方程为，即。 10. 4 “距离坐标”是（1，2）的点为图中、，共4个。 11. （1）设M（），直线ME的斜率为，则直线MF的斜率为，直线ME的方程为。由消x得。解得同理可得，（定值