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文档简介
高三数学导数运算高三数学导数运算人教版人教版 【同步教育信息同步教育信息】 一. 本周教学内容 导数运算 1. 幂函数的导数公式 n xy () 1 )( nn nxx * Nn 证明: nn n n n n n nn xCxxCxxCxxxy)()()( 22211 12211 )( nn n n n n n xCxxCxC x y 1 0 lim)( n x n nx x y x 2. 常数函数的导数公式 0C 证明:由0)()(CCxfxxfy 则,故0 x y 0lim 0 x y y x 3. 导数的运算法则 如果,有导数,则有)(xf)(xg)(x f )(x g )()( )()(xgxfxgxf )( )(xfCxfC 即两个函数的和或差的导数,等于这两函数的导数的和或差;常数与函数的积的导数, 等于常数乘以函数的导数。 【典型例题典型例题】 例 1 求下列函数的导数。 (1)1040233 34 xxxy (2))3)(12( 23 xxxy 解:解: (1)40691240)3(23)4(3 2323 xxxxy (2)xxxxxxxy 24523 326)3)(12( y 168301)2(3)4(2)5(6 3434 xxxxxx 例 2 已知,设,证明:.0a * Nn n axy)( 1 )( n axny 证法一:证法一:由,则 nn xaax)()( nn n kknk n n n n n xCxaCxaCaCy )()()( 110 112211 )()(2)( nn n kknk n n n n n xnCxakCxaCaCy xanCanC n n n n 1)1(1 1 10 )()( (利用公式) 11 1 1)1()1(1 1 )( nn n kknk n xnCxanC 1 1 k n k n nCkC 11 )()( nn axnxan 证法二:证法二: x axxax y nn x )()( lim 0 x axxCxaxCxaxCax nnn n n n n n n x )()()()()()( lim 22211 0 )()()(lim 12211 0 nn n n n n n x xCxaxCaxC 1 )( n axn 注:注:证法 1 利用导数公式及运算法则,证法 2 则利用导数定义 例 3 已知函数且函数的图象关于原点对称,其图象在dcxbxaxxf 23 )()(xf 处的切线为,试求解析式。3x0188 yx)(xf 解:解:由关于原点对称则)(xf)()(xfxf 即dcxbxaxdxcxbxa 2323 )()()( 022 2 dbx 上式对任意都成立,则Rx0 db 又的图象在处的切线方程为即)(xf3x0188 yx)3(86xy 由,则cxaxxf 3 )(cbxaxxf23)( 2 故 即 得 8)3( 6)3( f f 827 6327 ca ca 1 3 1 c a 故所求解析式为xxxf 3 3 1 )( 例 4 已知抛物线与直线交于点 M、N、P 为抛物线上弧上任意一 2 xy43 yx MN 点,求使面积最大时的点 P 的坐标。PMN 解:解:设 P(,)是抛物线上弧上一点,由,则抛物线在 0 x 0 y 2 xy MNxy2 点 P 的切线斜率为。xk2 当过 P 的切线平行于 MN 时,P 到 MN 的距离为最大,而直线 MN 的斜率为3k 故,32 0 x 2 3 0 x 于是点 P 的坐标为(,) 2 3 4 9 例 5 设,曲线在点 P(,)处切线的0acbxaxxf 2 )()(xfy 0 x)( 0 xf 倾斜角的取值范围是,则 P 到曲线对称轴距离的取值范围是( ) 4 ,0 )(xfy A. B. C. D. 1 ,0 a 2 1 ,0 a 2 ,0 a b 2 1 ,0 a b 解:解:,由已知,即baxxf2)(1)(0 0 xf120 0 bax 则点 P(,)到曲线对称轴距离为 0 x)( 0 xf)(xfy ,选 B。 2 1 ,0| 2 2 | 2 | 0 0 aa bax a b x 【模拟试题模拟试题】 1. 若直线是曲线的切线,求常数的值。xy axxxy 23 3a 2. 若两曲线与都过 P(1,2)点,且在这点有公切线,求axxy 3 cbxxy 2 、的值。abc 3. 证明:在两抛物线,的交点处它们的切线互相垂直。 2 xy 2 ) 1( xy 试题答案试题答案 1. 解:设切点坐标(,) 0 x 0 y 则或1 163 3 0 2 0 00 0 2 0 3 00 a axx xy axxxy 4 13 a 2. 解:由axyaxxy 23 3 由bxycbxxy2 2 1 2 1 1213 12 12 2 2 3 c b a ba c
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