高三数学空间几何体苏教版知识精讲

高三数学空间几何体苏教版【本讲教育信息】一. 教学内容：空间几何体1. 了解：柱、锥、台、球及其简单组合体、三视图与直观图、平面及其基本性质。2. 理解并会应用平面的基本性质。会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图。3. 掌握证明关于“线共点”、“线共面”、“点共线”的方法。4. 会作几何体的截面图。二. 教学重点、难点：重点：熟练地画出几何体的三视图以及直观图难点：直观与三视图的画法三. 基本知识结构：四、知识点归纳：1. 平面的概念：平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性。2. 平面的画法及其表示方法：常用平行四边形表示平面。通常把平行四边形的锐角画成，横边画成邻边的两倍。画两个平面相交时，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮住的部分画成虚线或不画。一般用一个希腊字母、来表示，还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示如平面等。3. 空间图形是由点、线、面组成的点、线、面的基本位置关系如下表所示：图形符号语言文字语言（读法）点在直线上。点不在直线上。点在平面内。点不在平面内。直线、交于点。直线在平面内。直线与平面无公共点。直线与平面交于点。平面、相交于直线。（平面外的直线）表示或4. 平面的基本性质公理1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。推理模式：。 如图示：应用：是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否是平面。公理1说明了平面与曲面的本质区别. 通过直线的“直”来刻划平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方法。 公理2如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。推理模式：且且唯一。如图示：应用：确定两相交平面的交线位置；判定点在直线上。公理2揭示了两个平面相交的主要特征，是判定两平面相交的依据，提供了确定两个平面交线的方法。公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。推理模式：不共线存在唯一的平面，使得。应用：确定平面；证明两个平面重合。“有且只有一个”的含义分两部分理解，“有”说明图形存在，但不唯一，“只有一个”说明图形如果有顶多只有一个，但不保证符合条件的图形存在，“有且只有一个”既保证了图形的存在性，又保证了图形的唯一性。在数学语言的叙述中，“确定一个”，“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词，因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证。推论1 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面。推理模式：存在唯一的平面，使得，。推论2 经过两条相交直线有且只有一个平面。推理模式：存在唯一的平面，使得。推论3 经过两条平行直线有且只有一个平面。推理模式：存在唯一的平面，使得。5. 平面图形与空间图形的概念：如果一个图形的所有点都在同一个平面内，则称这个图形为平面图形，否则称为空间图形。6. 空间两直线的位置关系（1）相交有且只有一个公共点；（2）平行在同一平面内，没有公共点；（3）异面不在任何一个平面内，没有公共点；7. 公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行。推理模式：。8. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。等角定理的推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两条直线所成的锐角（或直角）相等。9. 空间两条异面直线的画法10. 异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线。推理模式：与是异面直线。11. 异面直线所成的角：已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，所成的角的大小与点的选择无关，把所成的锐角（或直角）叫异面直线所成的角（或夹角）。为了简便，点通常取在异面直线的一条上。异面直线所成的角的范围：。12. 异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直。两条异面直线 垂直，记作。13. 求异面直线所成角的方法：几何法：（1）通过平移，在一条直线上找一点，过该点作另一直线的平行线；（2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求。向量法：用向量的夹角公式。14. 两条异面直线的公垂线、距离和两条异面直线都垂直相交的直线，我们称之为异面直线的公垂线。理解：因为两条异面直线互相垂直时，它们不一定相交，所以公垂线的定义要注意“相交”的含义。两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫做两条异面直线间的距离。两条异面直线的公垂线有且只有一条。计算方法：几何法；向量法。五. 基础训练题：1、主视图与左视图的高要保持高平齐，主视图与俯视图的长应长对正，俯视图与左视图的宽度应相等。2、在原来的图形中，两条线段平行且相等，则在直观图中对应的两条线段（ A ）A. 平行且相等 B. 平行但不相等 C. 相等但不平行 D. 既不平行也不相等3、下列投影是中心投影的是（ B ）A. 三视图 B. 人的视觉 C. 斜二测画法 D. 人在中午太阳光下的投影4、下列投影是平行投影的是（ A ）A. 俯视图 B. 路灯底下一个变长的身影戏 C. 将书法家的真迹用电灯光投影到墙壁上 D. 以一只白炽灯为光源的皮影戏5、已知某几何体的三视图如图所示：主视图、左视图相同，则该几何体的体积 【典型例题】例1. 如下图，四面体ABCD中，E、G分别为BC、AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DFFC23，DHHA23。求证：EF、GH、BD交于一点。分析：只要证明点E、F、G、H分别所在的直线EG和HF平行，由公理的推论3就可知它们共面在ABD和CBD中，由E、G分别是BC和AB的中点及可得EGAC，HFAC，所以EGHF，直线EF，GH是梯形的两腰，所以它们的延长线必相交于一点P，因此，要证三条直线EF、GH、BD交于一点，只要证点P在直线AC上即可。事实上，由于BD是EF和GH分别所在平面BCD和平面ABD的交线，而点P是上述两平面的公共点，由公理2知PBD。证法一：（几何法）连结GE、HF，E、G分别为BC、AB的中点，GEAC。又DFFC23，DHHA23，HFAC。GEFH。故G、E、F、H四点共面。又EF与GH不能平行，EF与GH相交，设交点为P。则P面ABD，P面BCD，而平面ABD平面BCDBD。EF、GH、BD交于一点。证法二：（向量法）由，从而EGFH故G、E、F、H四点共面。又EF与GH不能平行，EF与GH相交，设交点为P。则P面ABD，P面BCD，而平面ABD平面BCDBD。EF、GH、BD交于一点。点评：证明线共点，常采用证两直线的交点在第三条直线上的方法，而第三条直线又往往是两平面的交线。例2. 已知n条互相平行的直线l1，l2，l3，ln分别与直线l相交于点A1，A2，An，求证：l1，l2，l3，ln与l共面分析：证明多条直线（三条或三条以上）共面，先由两条确定一个平面，再证其它直线在这个平面内，或者分别由两条直线确定几个平面，再证这些平面重合。证法一：因为l1lA1，所以l1与l确定平面，设lk是与l1平行的直线中的任一条直线，且lklAk，则，Ak。lkl1，设lk与l1确定平面，则，Ak，因此l1与Ak既在平面内又在平面内，根据公理的推论1知过l1和其外一点的平面有且只有一个，所以重合，从而由lk的任意性知l1，l2，l3，ln共面证法二：l1l2，l1l3 直线l1和l2及直线l1和l3分别确定一个平面l1lA1，l2lA2，l3lA3， A1，A2，A2，A3，l，且l，和都是过相交直线l1和l的平面，而过两相交直线的平面有且只有一个l1，l2，l3，l共面，同理可证l4，l5，ln都在由直线l1和l所确定的平面内。例3. 如图，已知四边形ABCD中，ABCD，四条边AB，BC，DC，AD（或其延长线）分别与平面相交于E，F，G，H四点，求证：四点E，F，G，H共线。证明：ABCD，AB，CD确定一个平面，易知AB，BC，DC，AD都在内，由平面的性质可知四点E，F，G，H都在上，因而，E，F，G，H必都在平面与的交线上，所以四点E，F，G，H共线。例4. 如图，在一封闭的正方体容器内装满水，M，N分别是AA1与C1D1的中点，由于某种原因，在D，M，N三点处各有一个小洞，为使此容器内存水最多，问应将此容器如何放置？此时水的上表面的形状怎样？解：使过三点M，N，D的平面成为水平面时，容器内存水最多，至于水表面的形状，实质上就是过M，N，D三点所作正方体的截面的形状。连结DM并延长DM交D1A1的延长线于P，则点P既在截面内又在底面A1B1C1D1内，连结PN交A1B1于E，连ME，ND，则过M，N，D的截面就是四边形DMEN，易证MEDN且MEDN，因而它是一个梯形。小结1. 证明“线共点”的方法，一般是先证两条直线相交于一点，然后再证其它的直线过这一点。2. 证明“线共面”的问题，一般先由公理3或推论确定一个平面，再证明其它的直线在这个平面内。3. 证明“点共线”的方法，一般都是通过证这些点在某两个平面的交线上来解决。4. 作几何体的截面图时，常利用平面的性质，设法确定所作截面上的关键点，从而确定截面图形。例5. A是BCD平面外的一点，E、F分别是BC、AD的中点，（1）求证：直线EF与BD是异面直线；（2）若ACBD，ACBD，求EF与BD所成的角。（1）证明：用反证法假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A、B、C、D在同一平面内，这与A是BCD平面外的一点相矛盾故直线EF与BD是异面直线。（2）解：取CD的中点G，连结EG、FG，则EGBD，所以相交直线EF与EG所成的锐角或直角即为异面直线EF与BD所成的角在RtEGF中，求得FEG45，即异面直线EF与BD所成的角为45。点评：证明两条直线是异面直线常用反证法；求两条异面直线所成的角，首先要判断两条异面直线是否垂直，若垂直，则它们所成的角为90；若不垂直，则利用平移法求角，一般的步骤是“作（找）证算”注意，异面直线所成角的范围是（0，。例6. 长方体ABCDA1B1C1D1中，已知ABa，BCb，AA1c，且ab，求：（1）下列异面直线之间的距离：AB与CC1；AB与A1C1；AB与B1C。（2）异面直线D1B与AC所成角的余弦值。（1）解：BC为异面直线AB与CC1的公垂线段，故AB与CC1的距离为b。AA1为异面直线AB与A1C1的公垂线段，故AB与A1C1的距离为c。过B作BEB1C，垂足为E，则BE为异面直线AB与B1C的公垂线，BE，即AB与B1C的距离为。（2）解法一：连结BD交AC于点O，取DD1的中点F，连结OF、AF，则OFD1B，AOF就是异面直线D1B与AC所成的角。AO，OF BD1，AF，在AOF中，cosAOF。解法二：如下图，在原长方体的右侧补上一个同样的长方体，连结BG、D1G，则ACBG，D1BG（或其补角）为D1B与AC所成的角。BD1，BG，D1G，在D1BG中，cosD1BG，故所求的余弦值为。解法三：建立空间直角坐标系，写出坐标，用向量的夹角公式计算。例7. 设异面直线a与b所成的角为50，O为空间一定点，试讨论，过点O与a、b所成的角都是（090）的直线l有且仅有几条?解：过点O作a1a，b1b，则相交直线a1、b1确定一平面a1与b1夹角为50或130，设直线OA与a1、b1均为角，作AB面于点B，BCa1于点C，BDb1于点D，记AOB1，BOC2（225或65），则有coscos1cos2因为0190，所以0coscos2。当225时，由0coscos25，得2590；当265时，由0coscos65，得6590。故当25时，直线l不存在；当25时，直线l有且仅有1条；当2565时，直线l有且仅有2条；当65时，直线l有且仅有3条；当65或 D. BC，tan tan，又、（0，。故选C。如图所示，过空间一点O分别作a，b，则构成角或70。所求直线即为过点O且与都成60角的直线。当110，将两对对顶角的平分线绕O点分别在竖直平面内转动，总能得到与 都成60角的直线两条。当70时，同理。故过点 O与a，b都成60角的直线有4条，从而选D。过点O分别作a，b，则过点O有三条直线与，a，b所成角都为60，等价于过点O有三条直线与 所成角都为60，如图所示，则60，120，此时过点 O有三条直线与所成角都为60。其中一条正是角的平分线。如果它是棱锥，则是七棱锥，有14条棱，8个面如果它是棱柱，则是四棱柱，有12条棱，6个面。点评：本题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系，考查空间想象和转化能力，以及周密地分析问题和解决问题。小结1. 本节重点问题是证明三点共线、三线共点以及求异面直线所成的角。2. 证明三点均在两个平面的交线上，可以推证三点共线；求异面直线所成的角，一般先取一个特殊点作它们的平行线，作出所求的角或其补角，再解三角形。【模拟试题】1. 下列四个条件中，能确定一个平面的条件是（ ）A. 空间任意三点， B. 空间两条直线C. 两条平行线， D. 一条直线和一个点2. 两个平面重合的条件是（ ）A. 空间只有三个公共点， B. 有无数个公共点C. 有一条公共直线， D. 有两条公共直线3. 若3个平面将空间分成n部分，则n的值为（ ）A. 4 B. 4或6C. 4或6或7 D. 4或6或7或84. 空间四点中，如果其中任意三点都不共线，那么经过其中三点的平面有（ ）A. 必定有4个 B. 4个或1个C. 3个或1个 D. 1个或3个或4个5. 下列命题：（ ） 若点A，B，CAB，则C； 若l，b，c，bcA，则Al； 两两相交的三条直线必在同一平面内； 任意三点不共线的四点必共面。 其中真命题的个数有（ ）A. 0个B. 1个， C. 2个D. 3个6. 一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45，腰和上底长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是 。7. 已知ABC的平面直观图ABC是边长为a的正三角形，那么原三角形ABC的面积为 。8. 如图，表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线AB、CD、EF和GH在原正方体中异面的有 对。 9. 已知两异面直线a、b所成的角为，直线l分别与a、b所成的