黑龙江省哈尔滨三中2020年高考数学四模试题 文（含解析）

2020年黑龙江省哈尔滨三中高考数学四模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若复数z=1+2i，则复数z的模等于（）AB2CD2设集合A=x|y=log2（x1），则AB=（）A（0，2B（1，2）C（1，+）D（1，23已知数列an，那么“对于任意的nN*，点Pn（n，an）都在曲线y=3x上”是“数列an为等比数列”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4对于平面和不重合的两条直线m、n，下列选项中正确的是（）A如果m，n，m、n共面，那么mnB如果m，n与相交，那么m、n是异面直线C如果m，n，m、n是异面直线，那么nD如果m，nm，那么n5设是不共线的向量，若与共线，则实数k为（）A0B1C2D16已知a=，b=lo，c=log2，则（）AabcBbcaCcbaDbac7执行如图所示的程序框图，若输出S=16，则框图中处可以填入（）An2Bn4Cn6Dn88若圆（x1）2+（y+1）2=r2上有且只有两个点到直线xy+1=0的距离等于，则半径r的取值范围是（）ABCD9已知数列an的前n项和Sn满足Sn=2n2n，则数列a2n的前10项和等于（）A380B390C400D41010已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）A36B30C29D2011已知函数，若函数f（x）在区间上为单调递减函数，则实数的取值范围是（）ABCD12已知定义域为（0，+）的函数f（x）的图象经过点（2，4），且对x（0，+），都有f（x）1，则不等式f（2x2）2x的解集为（）A（0，+）B（0，2）C（1，2）D（0，1）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13若曲线y=lnx的一条切线是直线，则实数b的值为 14动点P（x，y）满足，则z=x+2y的最小值为 15已知x（0，+），观察下列各式：x+2，x+3，x+4，类比得：x+，则a= 16已知an=（b1，n2），若对不小于4的自然数n，恒有不等式an+1an成立，则实数b的取值范围是 三、解答题（本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17如图，在ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，满足sin2A+sin2Csin2B=sinAsinC（）求角B；（）点D在线段BC上，满足DA=DC，且a=11，cos（AC）=，求线段DC的长18为了解春季昼夜温差大小与某种子发芽多少之间的关系，分别记录了4月1日至4月5日每天的昼夜温差与每天100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下表格：日期4月1日4月2日4月3日4月4日4月5日温差xC121113108发芽率y颗2625302316（1）从这5天中任选2天，求至少有一天种子发芽数超过25颗的概率；（2）请根据4月1日、4月2日、4月3日这3天的数据，求出y关于x的线性回归方程=x+；（3）根据（2）中所得的线性回归方程，预测温差为16C时，种子发芽的颗数参考公式： =， =x19如图，四边形ABCD与BDEF均为边长为2的菱形，DAB=DBF=60，且FA=FC（1）求证：FC平面EAD；（2）求点A到平面BDEF的距离20在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E： =1（ab0）经过点和点B（0，2），斜率为k（k0）的直线经过点P（2，0）且交E于M，N两点（1）求椭圆E的方程；（2）当AOM与AON面积比值为7，求实数k的值21已知函数f（x）=exx2（a+2）x+b，曲线y=f（x）在x=0处的切线方程为2a2x+yb=0，其中e是自然对数的底数）（）确定a，b的关系式（用a表示b）；（）对于任意负数a，总存在x0，使f（x）M成立，求实数M的取值范围请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分选修4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy中，将圆O：x2+y2=4上每一个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的，得到曲线C（1）求曲线C的参数方程；（2）以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，在两坐标系中取相同的单位长度，射线=（0）与圆O和曲线C分别交于点A，B，求|AB|的最大值选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）=|tx2|tx+1|，aR（1）当t=1时，解不等式f（x）1；（2）若对任意实数t，f（x）的最大值恒为m，求证：对任意正数a，b，c，当a+b+c=m时，m2020年黑龙江省哈尔滨三中高考数学四模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若复数z=1+2i，则复数z的模等于（）AB2CD【考点】A8：复数求模【分析】利用复数模的计算公式即可得出【解答】解：z=1+2i，|z|=，故选：A2设集合A=x|y=log2（x1），则AB=（）A（0，2B（1，2）C（1，+）D（1，2【考点】1E：交集及其运算【分析】运用对数函数的定义域和含根号函数的值域，化简集合A，B，再由交集的定义，即可得到所求集合【解答】解：集合A=x|y=log2（x1）=x|x10=x|x1，=y|y0，则AB=x|x1y|y0=（1，+）0，+）=（1，+），故选：C3已知数列an，那么“对于任意的nN*，点Pn（n，an）都在曲线y=3x上”是“数列an为等比数列”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据等比数列的定义结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：若“对于任意的nN*，点Pn（n，an）都在曲线y=3x上”，则an=3n，则数列an为公比q=3的等比数列，即充分性成立，若an=2n，满足数列an为等比数列，但点Pn（n，an）都在曲线y=3x上不成立，即必要性不成立，即“对于任意的nN*，点Pn（n，an）都在曲线y=3x上”是“数列an为等比数列”的充分不必要条件，故选：A4对于平面和不重合的两条直线m、n，下列选项中正确的是（）A如果m，n，m、n共面，那么mnB如果m，n与相交，那么m、n是异面直线C如果m，n，m、n是异面直线，那么nD如果m，nm，那么n【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系；2K：命题的真假判断与应用【分析】本题考查的知识点是空间中直线与平面之间的位置关系，如果m，n，则mn或m与n异面，又由m、n共面，那么mn；如果m，n与相交，那么m、n相交或m、n是异面直线；如果m，n，当m、n是异面直线时，则n与可能平行，也可能相交；如果m，nm，那么n或n分析后即可得到正确的答案【解答】解：A答案中：如果m，n，则mn或m与n异面，又由m、n共面，那么mn，故A正确；B答案中：如果m，n与相交，那么m、n相交或m、n是异面直线，故B答案错误；C答案中：如果m，n，当m、n是异面直线时，则n与可能平行，也可能相交，故C答案错误；D答案中：如果m，nm，那么n或n故D答案错误；故选A5设是不共线的向量，若与共线，则实数k为（）A0B1C2D1【考点】96：平行向量与共线向量【分析】根据平面向量的共线定理和向量相等的定义，列方程求出k的值【解答】解：是不共线的向量，且，若与共线，则存在实数，使=；+k=（k+）=k+，由向量相等得，解得k=1故选：D6已知a=，b=lo，c=log2，则（）AabcBbcaCcbaDbac【考点】4M：对数值大小的比较【分析】分别判断a，b，c的取值范围即可得到结论【解答】解：a=1，b=lo（0，1），c=log20，abc故选：A7执行如图所示的程序框图，若输出S=16，则框图中处可以填入（）An2Bn4Cn6Dn8【考点】EF：程序框图【分析】据程序框图写出几次循环的结果，直到S=16，判定出n满足的条件【解答】解：第一次循环：s=1，n=3；不满足条件；第二次循环：s=4，n=5，不满足条件；第三次循环：s=9，n=7，不满足条件；第四次循环：s=16，n=9，满足条件；输出s的值，所以判断框中的条件可填写“n8”故选：D8若圆（x1）2+（y+1）2=r2上有且只有两个点到直线xy+1=0的距离等于，则半径r的取值范围是（）ABCD【考点】J9：直线与圆的位置关系【分析】圆心（1，1）到直线xy+1=0的距离d=，由此根据圆上有且只有两个点到直线xy+1=0的距离等于，能求出半径r的取值范围【解答】解：圆（x1）2+（y+1）2=r2的圆心（1，1），半径为r，圆心（1，1）到直线xy+1=0的距离d=圆上有且只有两个点到直线xy+1=0的距离等于，即半径r的取值范围是（）故选：B9已知数列an的前n项和Sn满足Sn=2n2n，则数列a2n的前10项和等于（）A380B390C400D410【考点】8E：数列的求和【分析】Sn=2n2n，n2时，an=SnSn1n=1时，a1=S1=1，可得an，进而达到a2n再利用求和公式即可得出【解答】解：Sn=2n2n，n2时，an=SnSn1=2n2n2（n1）2（n1）=4n3n=1时，a1=S1=1，对于上式也成立an=4n3a2n=8n3则数列a2n的前10项和等于=410故选：D10已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）A36B30C29D20【考点】L!：由三视图求面积、体积【分析】由已知三视图得到几何体是平放的三棱柱，底面为直角三角形，高为4，由此计算外接球的表面积【解答】解：由已知三视图得到几何体是平放的三棱柱，底面为直角边分别为2，3的直角三角形，棱柱的高为4，所以外接球的直径为，所以表面积为：；故选C11已知函数，若函数f（x）在区间上为单调递减函数，则实数的取值范围是（）ABCD【考点】H2：正弦函数的图象【分析】根据三角函数的图象和性质求出函数的单调递减区间，建立不等式关系即可得求得实数的取值范围【解答】解：函数在区间上为单调递减函数，由2k+x2k+，求得+，故函数f（x）的减区间为+， +，kZ函数f（x）在区间上为单调递减函数，故有，求得2k+，令k=0，可得，故选：B12已知定义域为（0，+）的函数f（x）的图象经过点（2，4），且对x（0，+），都有f（x）1，则不等式f（2x2）2x的解集为（）A（0，+）B（0，2）C（1，2）D（0，1）【考点】6A：函数的单调性与导数的关系【分析】令g（x）=f（x）x，求出函数的导数，得到函数g（x）的单调性，问题转化为g（2x2）g（2），根据函数的单调性求出x的范围即可【解答】解：令g（x）=f（x）x，则g（x）=f（x）10，故g（x）在（0，+）递增，而g（2）=f（2）2=2，由f（2x2）2x，得g（2x2）g（2），故，解得：1x2，故选：C二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13若曲线y=lnx的一条切线是直线，则实数b的值为1+ln2【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求出函数的导数，可得切线的斜率，由切线方程可得切线的斜率，列出方程求解即可【解答】解：曲线y=lnx，可得y=，曲线y=lnx的一条切线是直线y=x+b，可得=，解得切点的横坐标x=2，则切点坐标（2，ln2），所以ln2=1+b，可得b=1+ln2故答案为：1+ln214动点P（x，y）满足，则z=x+2y的最小值为3【考点】7C：简单线性规划【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（3，0），化目标函数z=x+2y为y=+，由图可知，当直线y=+过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为3故答案为：315已知x（0，+），观察下列各式：x+2，x+3，x+4，类比得：x+，则a=nn【考点】F3：类比推理；F1：归纳推理【分析】观察前几个式子的分子分母可发现规律得出结论【解答】解：当n=1时，a=1，当n=2时，a=2=22，当n=3时，a=27=33，当分母指数取n时，a=nn故答案为nn16已知an=（b1，n2），若对不小于4的自然数n，恒有不等式an+1an成立，则实数b的取值范围是（3，+）【考点】6P：不等式恒成立的问题；8H：数列递推式【分析】根据题意可得b=1+，再根据数列的函数特征，即可求出b的取值范围【解答】解：若对不小于4的自然数n，恒有不等式an+1an成立，则，即（n+1）（1b）+3b2n（1b）b+3b22b，即（1b）（n+1nb）（3b2）（b1），b1，nb（n+1）3b2，b（n3）n1，n4，b=1+，设Tn=1+，当n4时，该数列为递减数列，1+1+=3，b3，故b的取值范围为（3，+），故答案为：（3，+）三、解答题（本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17如图，在ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，满足sin2A+sin2Csin2B=sinAsinC（）求角B；（）点D在线段BC上，满足DA=DC，且a=11，cos（AC）=，求线段DC的长【考点】HT：三角形中的几何计算；HP：正弦定理【分析】（）根据正弦定理以及余弦定理可得cosB=，即可求出B的值，（）根据正弦定理和三角形的关系即可求出答案【解答】解：（）由正弦定理及sin2A+sin2Csin2B=sinAsinC可得，a2+c2b2=ac，cosB=，B（0，），（）由条件BAD=AC，由cos（AC）=可得sin（AC）=，设AD=x，则CD=x，BD=11x，在ABD中，由正弦定理得=，故=，解得x=45，所以AD=DC=4518为了解春季昼夜温差大小与某种子发芽多少之间的关系，分别记录了4月1日至4月5日每天的昼夜温差与每天100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下表格：日期4月1日4月2日4月3日4月4日4月5日温差xC121113108发芽率y颗2625302316（1）从这5天中任选2天，求至少有一天种子发芽数超过25颗的概率；（2）请根据4月1日、4月2日、4月3日这3天的数据，求出y关于x的线性回归方程=x+；（3）根据（2）中所得的线性回归方程，预测温差为16C时，种子发芽的颗数参考公式： =， =x【考点】BK：线性回归方程【分析】（1）利用对立事件的概率计算所求的概率值；（2）计算、，求出回归系数，写出回归方程；（3）利用回归方程，计算x=16时的值即可【解答】解：（1）从这5天中任选2天，至少有一天种子发芽数超过25颗的概率为P=1=；（2）请根据4月1日、4月2日、4月3日这3天的数据，计算=（12+11+13）=12，=（26+25+30）=27，回归系数为=，=2712=3，y关于x的线性回归方程为=x3；（3）根据（2）中所得的线性回归方程，计算x=16时， =163=37；即预测温差为16C时，种子发芽的颗数为3719如图，四边形ABCD与BDEF均为边长为2的菱形，DAB=DBF=60，且FA=FC（1）求证：FC平面EAD；（2）求点A到平面BDEF的距离【考点】MK：点、线、面间的距离计算；LS：直线与平面平行的判定【分析】（1）由已知分别证明FBED，BCAD，再由面面平行的判定可得平面FBC/平面EAD，进一步得到FC平面EAD；（2）设ACBD=O，则O为AC的中点，可得FOAO，又AOBD，由线面垂直的判定可得AO平面BDEF，在菱形ABCD中，求解三角形得答案【解答】证明：（1）BDEF是菱形，FBED，又ED平面EAD，FB平面EAD，FB平面EAD，ABCD是菱形，BCAD，又AD平面EAD，BC平面EAD，BC平面EAD，又FBBC=B，FB平面EAD，BC平面EAD，平面FBC平面EAD，又FC平面FBC，FC平面EAD；解：（2）设ACBD=O，则O为AC的中点，FA=FC，FOAO，又AOBD，FOBD=O，AO平面BDEF，在菱形ABCD中，AB=2，DAB=60，故点A到平面BDEF的距离为20在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E： =1（ab0）经过点和点B（0，2），斜率为k（k0）的直线经过点P（2，0）且交E于M，N两点（1）求椭圆E的方程；（2）当AOM与AON面积比值为7，求实数k的值【考点】KL：直线与椭圆的位置关系【分析】（）由椭圆E经过点和点B（0，2），列出方程组，求出a=2，b=，由此能求出椭圆的标准方程（）取立，得（3k2+4）y2+16ky+4k2=0，由此利用韦达定理、根的判别式，结合已知条件能求出实数k的值【解答】解：（）椭圆E： =1（ab0）经过点和点B（0，2），解得a=2，b=，椭圆的标准方程为（）设点M（x1，y1），N（x2，y2），取立，得（3k2+4）y2+16ky+4k2=0，且=256k216k2（3k2+4）0，解得0k24，y1=7y2，解得实数k的值为121已知函数f（x）=exx2（a+2）x+b，曲线y=f（x）在x=0处的切线方程为2a2x+yb=0，其中e是自然对数的底数）（）确定a，b的关系式（用a表示b）；（）对于任意负数a，总存在x0，使f（x）M成立，求实数M的取值范围【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6B：利用导数研究函数的单调性【分析】（）求导数，利用曲线y=f（x）在x=0处的切线方程为2a2x+yb=0确定a，b的关系式（用a表示b）；（）对于任意负数a，总存在x0，使f（x）M成立，即对于任意负数a，x0，使f（x）minM成立，即可求实数M的取值范围【解答】解：（）f（x）=exx2（a+2）x+b，f（x）=exx2ax+b（a+2），f（0）=2a2，b=a+22a2；（）对于任意负数a，总存在x0，使f（x）M成立，即对于任意负数a，x0，使f（x）minM成立，由（）可知f（x）=ex（x2a）（x+a），令f（x）=0，可得x=2a，或x=aa0，0xa，