高考数学冲刺复习 精练40

数学冲刺复习 数学精练（40） 1已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为，离心率e=() 求椭圆E的方程；() 过点（1,0）作直线交E于P、Q两点，试问在x轴上是否存在一定点M，使为定值？若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由2已知向量动点到定直线的距离等于并且满足其中是坐标原点，是参数.（1）求动点的轨迹方程，并判断曲线类型；（2）当时，求的最大值和最小值；（3）如果动点的轨迹是圆锥曲线，其离心率满足求实数的取值范围。 3.已知椭圆的一个焦点是，两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形.（）求椭圆的方程；（）过点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于两点，设点关于轴的对称点为 .（i）求证：直线过轴上一定点，并求出此定点坐标；（ii）求面积的取值范围。4. 过轴上动点引抛物线的两条切线、，、为切点AOPQ（1）若切线，的斜率分别为和，求证： 为定值，并求出定值；（2）求证：直线恒过定点，并求出定点坐标； （3）当最小时，求的值5. 若圆过点且与直线相切，设圆心的轨迹为曲线，、为曲线上的两点，点，且满足.（1）求曲线的方程；（2）若，直线的斜率为，过、两点的圆与抛物线在点处有共同的切线，求圆的方程；（3）分别过、作曲线的切线，两条切线交于点，若点恰好在直线上，求证：与均为定值. 6. 已知定点A(1，0)，F(2，0)，定直线l：x，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍.设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、C两点，直线AB、AC分别交l于点M、N（）求E的方程；（）试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由. 7 如图所示，在正三棱柱中，底面边长为，侧棱长为，是棱的中点.()求证:平面；（）求二面角的大小；（）求点到平面的距离.参考答案解：(1)，所求椭圆E的方程为： (2)当直线不与x轴重合时，可设直线的方程为： ， 把（2）代人（1）整理得：， 假设存在定点，使得为定值=当且仅当，即时，（为定值）这时再验证当直线的倾斜角时的情形，此时取，存在定点使得对于经过（1,0）点的任意一条直线均有（恒为定值）2（1）设由题设可得，因即为所求轨迹方程。 当时，动点的轨迹是一条直线；当时，动点的轨迹是圆；当时，方程可化为当时，动点的轨迹是双曲线；当时，动点的轨迹是椭圆。 （2）当时， 的轨迹方程为得 当时，取最小值 当时，取最大值16.因此，的最小值是，最大值是4. （3）由于即此时圆锥曲线是椭圆，其方程可化为当时， 当时，而得，综上，的取值范围是 3.()易得，则所以椭圆的标准方程为 ()（i）不妨设直线方程为，代入得：，设，则有，由关于轴的对称点为，得，根据题设条件设定点为，得，即，整理得，代入得 则定点为 （ii）由（I）中判别式，解得 ，而直线过定点所以记，易得在上位单调递减函数，得 4. （1），即，即，同理，所以。联立PQ的直线方程和抛物线方程可得：，所以，所以（2）因为，所以直线恒过定点（3），所以，设，所以，当且仅当取等号，即。因为因为所以5. （1）依题意,点到定点的距离等于到定直线的距离，所以点的轨迹为抛物线，曲线的方程为； （2）直线的方程是,即，由得点、的坐标是或，当、时，由得,， 所以抛物线在点处切线的斜率为，直线的方程为，即线段的中点坐标为，中垂线方程为，即由、解得， 于是，圆的方程为，即 ，当、时，抛物线在点处切线的斜率为，此时切线与垂直，所求圆为以为直径的圆，可求得圆为， （3）设，,，过点的切线方程为，即，同理可得，所以,，又=，所以直线的方程为，即,亦即,所以，而,，所以. 6. ：(1)设P(x,y)，则化简得x2=1(y0)(2)当直线BC与x轴不垂直时，设BC的方程为yk(x2)(k0)与双曲线x2=1联立消去y得(3k)2x24k2x(4k23)0由题意知3k20且0设B(x1,y1),C(x2,y2)，则y1y2k2(x12)(x22)k2x1x22(x1x2)4 k2(4) 因为x1、x21所以直线AB的方程为y(x1)因此M点的坐标为(),同理可得因此 0当直线BC与x轴垂直时，起方程为x2，则B(2,3),C(2,3)AB的方程为yx1,因此M点的坐标为()，同理可得 因此0综上0，即FMFN 故以线段MN为直径的圆经过点F7 ：() 连结与交于，则为的中点，为的中点，为的中