高三数学第一轮复习：圆的方程及直线与圆的位置关系知识精讲

高三数学第一轮复习：圆的方程及直线与圆的位置关系【本讲主要内容】 圆的方程及直线与圆的位置关系圆的标准方程、圆的一般方程、圆的参数方程、直线和圆的位置关系【知识掌握】【知识点精析】1. 圆的标准方程：，方程表示圆心为，半径为的圆。2. 圆的一般方程： 当时，表示圆心为，半径为的圆；当时，表示一个点；当时，它不表示任何图形。3. 圆的标准方程与一般方程的比较：圆的标准方程的优点在于它明确地指出了圆心和半径，而一般方程突出了方程形式上的特点：和的系数相同，都不等于；没有这样的二次项。二元二次方程表示圆的充要条件是：和的系数相等且不为零，即；没有项，即；，其中、是二元二次方程表示圆的必要条件，但不是充分条件。说明：圆的标准方程和一般方程均含有三个参变量，因此必须有三个独立条件才能确定一个圆；求圆的方程的主要方法为待定系数法。4. 圆的参数方程：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数，即，并且对于的每一个允许值，由方程组所确定的点都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系之间关系的变数叫做参变数，简称参数。表示圆心为，半径为的圆。5. 直线与圆的位置关系：点与圆的位置关系：若圆，那么点在直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有三种：相离、相切、相交。判断方法有两种：代数法：几何法：圆心到直线的距离为，说明：在求解直线和圆的问题时，要注意运用：数形结合的数学思想、尽可能运用圆的几何性质，使解法简捷。如在有关直线与圆的位置关系问题，一般不用判别式，而是用圆心到直线的距离与半径的大小关系求解；直线与圆的交点问题则常用根与系数的关系简化运算过程。直线与圆相切，这类问题主要是求圆的切线方程。求圆的切线方程主要可分为已知斜率或已知直线上一点两种情况，而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况。直线与圆相交，这类问题主要是求弦长以及弦的中点问题，要注意运用代数定理，引进参数，设点而不求点，简化运算，减少计算量。圆与圆的位置关系：圆与圆的位置关系有五种：相离、外切、相交、内切、内含。设两圆圆心分别为，则【解题方法指导】例. 根据下列条件，求圆的方程。和圆相外切于点，且半径为；经过坐标原点和点，并且圆心在直线上；已知一圆过两点，且在轴上截得的线段长为。解析：设圆心的坐标为，与相外切于，共线，且，由定比分点坐标公式求得，所求圆的方程为显然，所求圆的圆心在的垂直平分线上，的垂直平分线方程为：，即。解方程组，得圆心的坐标为又圆的半径，所求圆的方程为。设圆的方程为 将点的坐标分别代入，得：，令，由得 由已知，其中是方程的两根，解方程组得，故所求圆的方程为评述：无论是圆的标准方程还是圆的一般方程，都有三个待定系数，因此，求圆的方程应有三个条件来求一般地，已知圆心或半径的条件，选用标准式，否则用一般式。例2. 已知：，点，过作的切线，切点为A、B。求直线的方程；求直线的方程。解析：由已知切线的斜率存在，设切线方程为，即，解得或，直线的方程为和以为直径的圆的方程为，已知：，两式相减便得直线的方程为评述：求过圆外一点的圆的切线时，一般要用点到直线的距离等于圆的半径求解。【考点突破】【考点指要】有关直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系的题型出现次数较多，既有选择题、填空题，也有解答题，历年高考中所占分值为12分，既考查基础知识的应用能力，又考查综合运用知识分析问题、解决问题的能力。考查通常分为三个层次：层次一：考查圆的标准方程、一般方程的求法；层次二：考查直线与圆的三种位置关系；层次三：考查圆的综合问题。解决问题的基本方法和途径有：待定系数法、分类讨论法、等价转化法、数形结合法。【典型例题分析】例3. （2020湖北）已知圆，直线。证明不论取什么实数，直线与圆恒交于两点；求直线被圆截得的弦长最小时的方程。解析：的方程为，得，即恒过定点。圆心，（半径），点在圆内，从而直线恒与圆相交于两点。弦长最小值时，由得的方程为评述：本题利用直线恒经过圆内一点，从而判定直线和圆相交。例4. （2020湖北）已知直线与圆相切，则的值为_。答案：或解析：圆可化为，得圆心，半径。又直线与圆相切，圆心到直线的距离等于圆的半径，代入点到直线距离公式得，解得或评述：本题考查直线和圆的位置关系，切线的几何特征是有垂直关系存在，利用圆心到切线的距离等于圆的半径解决比利用判别式“”求解简单。例5. （2020湖南）若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）A答案：解析：由得，可知圆心，半径，故若使圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，结合图形可知只需圆心到直线的距离即可，即，满足题意的直线的倾斜角的取值范围是评述：本题考查直线与圆的位置关系。利用数形结合法先求出特殊位置的直线，再根据题意确定直线位置的变化。【达标测试】一. 选择题：. 方程表示圆，则的取值范围是（）. . 2. 已知，是圆上任意一点，则的面积的最大值是（）. . . 6. 43. 以和为一条直径的两个端点的圆的方程是（ ）A. . . . 4. 若点在曲线，则使取得最大值的点的坐标是（）. . . . 5. 点在圆的内部，则的取值范围是（）. 6. 直线与圆在同一坐标系中的图形只可能是（） ABC D7. 若关于的方程只有一个实数根，则的值为（）. . 或.或. 或或8. 把直线按向量平移后，所得直线与圆相切，则实数的值为（）. 39. 13. 21. 39二. 填空题：9. 过点，圆心在直线上的圆的方程是。10. 若在圆上运动，则的最大值为。11. 若圆，圆相交，则的取值范围是. 12. 圆上到直线的距离恒为的点有个。三. 解答题：13. 求圆心在直线上，并且与直线相切于点的圆的方程。14. 已知两点，如果经过点与点且与轴相切的圆有且只有一个，求的值及圆的方程。15. 已知圆，问是否存在斜率为的直线，使被圆截得弦，以为直径的圆经过原点，若存在，写出直线的方程；若不存在，说明理由。【综合测试】一、选择题： （2020重庆）圆关于原点对称的圆的方程为 （ ）A. . . . 2. （2020重庆）圆的圆心到直线的距离为 （ ）A. 2. . 1. 3. （2020广东） 如图,定圆半径为,圆心为,则直线与直线的交点在 （ ）A. 第四象限. 第三象限. 第二象限 . 第一象限4. （2020全国）已知圆的半径为2,圆心在轴的正半轴上,直线与圆相切,则圆的方程为 （ ）A. . . . 5. （2020杭州）已知向量,与的夹角为 60,则直线与圆的位置关系是 （ ）A. 相切. 相交. 相离. 随的值而定6. （2020福州）将直线先绕点顺时针旋转90,再向上平移1个单位后,与圆相切,则半径的值是 （ ）A. . . . 7. （2020北京）从原点向圆作两条切线,则该圆夹在两条切线间的劣弧长为 （ ）A. . . . 8. （2020江西）若直线始终平分圆的周长,则的取值范围是 （ ）A. . . . 二. 填空题：9. （2020辽宁）若直线按向量平移后与圆相切,则的值为。10. 若直线与圆相交，则点的位置是。11. （2020山东）已知点是圆上任意一点, 点关于直线的对称点也在圆上,则实数。12. （2020全国）由动点向圆引两条切线,切点分别为,则动点的轨迹方程为。三、解答题：13. （2020江苏）如图，圆和圆的半径都等于1，过动点分别作圆、圆的切线，使得。试建立平面直角坐标系，求动点的轨迹方程。14. （2020北京）已知,点、点满足求点的轨迹方程；求过点作直线交以为焦点的椭圆于两点，线段的中点到轴的距离为，且直线与点的轨迹相切，求该椭圆的方程。15. （2020湖北）已知定点,动点满足求动点的轨迹方程，并说明方程表示的曲线；当时，求的最大值和最小值。达标测试答案一. 选择题：. 答案：解析：由方程表示圆的条件得：即，解得2. 答案：解析：设，点到的距离为，则，即，。3. 答案:解析:由已知得圆心为，半径为，故方程，即. 4. 答案:解析:表示圆上的点到原点的距离的平方。设圆心为，则，此时三点共线。5. 答案:解析：点在圆内部6. 答案：解析：，圆的圆心为且过原点，故排除，对于有，与直线的斜率矛盾。7. 答案：解析：作出和的图象如图所示由图可得选项。8. 答案：解析：圆的方程为，而直线按向量平移后的方程为，它与圆相切，二. 填空题：9. 答案：解析：，设圆心，则，故圆的方程为10. 答案：解析：设，则直线与圆有公共点，应满足：，解得，的最大值为11. 答案：解析：，而且，解之得答案。12. 答案：3解析：已知圆的圆心为，半径为，由于到直线的距离为，可见直线与圆相交。结合图形分析知满足条件的点有3个。三. 解答题：13. 解析：解法一、设所求圆的方程为，依题意有，解得，所求圆的方程为 解法二、由于圆心在直线上，又在过切点与切线垂直的直线即上，解方程组，可得圆心，所求圆的方程为 14. 解析：由于所求的圆与轴相切，圆心到轴的距离等于圆的半径，所以设圆的方程为，把点的坐标代入圆的方程得，消去得（1）当时，方程为，解得，方程为 （2）当时，由得，整理得，把代入方程得，得，方程为故当时所求圆的方程为；当时所求圆的方程为15. 解析：假设存在且令为，圆化为，圆心，则中点是两直线与的交点，即以为直径的圆过原点，则。又，。又，由得或，存在直线方程为和【综合测试答案】一、选择题：答案： 解析：已知圆的圆心是，则对称的圆心是，半径不变均为2. 答案： 解析：圆的方程为，圆心到直线的距离是 3. 答案： 解析：联立两直线可得交点为，由图知，则，。又，交点在第三象限。4. 答案： 解析：设，则，圆的方程为即为. 5. 答案： 解析：，圆心到直线的距离为，直线与圆相离。6. 答案： 解析：，已知圆心为，7. 答案：解析：圆化为标准方程为，圆心，则，8. 答案：解析：圆心，直线平分圆周，直线必过圆心，将代入得，二. 填空题：9. 答案：8或-2 解析：直线平移后方程为,此时圆心到此直线的距离为,或10. 答案：在圆外 解析：由直线与圆相交得，即，因此点在圆外。11. 答案：10 解析：由题意可知圆心在直线上, 12. 答案：解析：设,由题意知,则即三. 解答题13. 解析：以的中点为原点，所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则，。由已知，得。因为两圆的半径均