高三数学排列、组合、二项式定理 (理)

排列、组合、二项式定理 (理)一周强化一、一周知识概述本周复习的内容为高中数学第十章排列、组合和概率.本章内容在代数中自成体系，内容抽象，解题方法灵活，是中学、大学的衔接内容，复习时，应抓住两个计数原理这个基础，由于排列组合是二项式定理的基础，是解决概率问题的工具，因此，学好排列组合是本章的关键。1、分步计数原理、分类计数原理的应用关键在于恰当地分步或分类，要使所分类（或分步）不重复、不遗漏对于分类计数原理与分步计数原理的综合应用问题，一般的解题步骤是：整体上先分类，局部上再考虑分步或再次分类.2、排列是分步计数原理的特殊情况，即从n个不同的元素中每次取一个元素，分m步，共取m个元素（有顺序），因此取法共有n(n1)(n2)(nm1)种，这就是排列数公式组合与排列的区别在于组合是不计顺序的，而排列可以看作先组合后作全排列，因此那么组合数为利用这一思路，求组合就是求排列的一部分，如甲在乙的左边，占甲、乙任意排列的一半排列数公式与组合数公式都有2个，带阶乘的常用于计算、证明，以及m不明确或较大时候的运算，另一个则用于m的解或较小时的运算问题中常用方法有：排除法、枚举法、元素（位置）优先法、捆绑法、插入法、分隔法3、正确理解二项式展开式中的第r1项，第r1项的二项式系数，第r1项的系数之间的差别求二项式系数最大的项，可直接根据二项式系数的增减性与最大值性质，当为n奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大若求系数最大的项，则要根据各项系数的正、负变化情况并采用列不等式组、比较系数法求解二项式的某项系数问题，既可化归为二项式问题求解，又可从组合角度求解，一般地，三项式（abc）n的展开式中，apbqcr的系数为赋值法在二项展开式中的运用赋值法的模式是：对任意的xA，某式子恒成立，那么对A中的特殊值，该式子一定成立特殊值如何选取？视具体问题而定，没有一成不变的规律，它的灵活性较强，一般x00， 1，1取较多一般地，多项式f(x)的各项系数和为f(1)，奇次项系数和为，偶次项系数和为如二项式系数性质的证明就是赋值法在二项展开式中运用的典范二项式定理的应用一般应用于与二项式乘方有关的命题证明组合恒等式或求和二、本周复习的重、难点（一）本周复习的重点1、理解两个计数原理；2、理解排列、组合、二项式展开式及性质、能用通项公式求某些特定项；（二）本周复习的难点1、排列组合的应用问题；2、二项式定理的系数性质；三、例题解析例1、有五张卡片，它们的正、反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？例2、已知的展开式的各项系数之和等于的展开式中的常数项，求的展开式中a1项的二项式系数.例3、已知m、n为自然数，f(x)(1x)m(1x)n的展开式中x的系数为19，求f(x)展开式中x2项系数的最小值试题答案三、解答题分析：在解本题时应考虑两方面的问题：（1）0不能作百位，但0与1在同一卡片上，因此着眼于限制条件，必须同时考虑0与1的分类（2）每张卡片都有正面与反面两种可能解法上既可用直接法，也可用排除法解：解法一 （直接法）从0与1两个特殊值着眼，可分三类：（1）取0不取1，可先从另四张卡选一张作百位，有种方法；0可在后两位，有种方法；最后须从剩下的三张中任取一张，有种方法；又除含0的那张外，其他两张都有正面或反面两种可能，故此时可得不同的三位数有（2）取1不取0，同上分析可得不同的三位数（3）0和1都不取，有不同三位数综上所述，共有不同的三位数解法二 （间接法）任取三张卡片可以组成不同三位数，其中0在百位的这是不合题意的，故共有不同三位数：例2：分析：要求的展开式中a1项的二项式系数，首先要由已知条件确定n.另外应注意展开式的各项系数之和的求法“赋值法”以及特定项的求法.解答：依题意，令a=1，得展开式中各项系数和为展开式中 的通项为Tr1，若Tr1为常数项，则，即r=2.故常数项为 所求a1项的二项式系数为.点评：通过此题我们要加深理解“二项式系数”与“项系数”的概念，以及掌握求二项式所有项的系数和的方法“赋值法”：设f(x)=(abx)n=a0a1xa2x2anxn，则：（1）a0a1a2an=f(1)（2）a0=f(0)（3）a0a2a2k=（4）a1a3a2k1=例3：分析：将x2项系数用m