经典2013湖南文科数学高考试题(含解析与答案)

经典2013年招生全国统一考试数学文史类(湖南卷)数学(文史卷)本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页，时量120分钟，满分150分一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1(2013湖南，文1)复数zi(1i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案：B解析：zi(1i)i11i，故选B2(2013湖南，文2)“1x2”是“x2”成立的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件答案：A解析：“1x2”能推出“x2”成立，但“x2”不能推出“1x2”成立，故选A3(2013湖南，文3)某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n()A9 B10 C12 D13答案：D解析：抽样比为，所以甲抽取6件，乙抽取4件，丙抽取3件，n13，故选D4(2013湖南，文4)已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(1)g(1)2，f(1)g(1)4，则g(1)等于()A4 B3 C2 D1答案：B解析：f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，f(1)g(1)2，即f(1)g(1)2.f(1)g(1)4，即f(1)g(1)4.由得g(1)3，故选B5(2013湖南，文5)在锐角ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asin Bb，则角A等于()A B C D答案：A解析：2asin Bb，2sin Asin Bsin Bsin B0，sin A.A，A.故选A6(2013湖南，文6)函数f(x)ln x的图象与函数g(x)x24x4的图象的交点个数为()A0 B1 C2 D3答案：C解析：利用图象知，有两个交点故选C7(2013湖南，文7)已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为的矩形，则该正方体的正视图的面积等于()A B1 C D答案：D解析：如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的俯视图为ABCD，侧视图为BB1D1D，此时满足其面积为，故该正方体的正视图应为AA1C1C又因AC，故其面积为.8(2013湖南，文8)已知a，b是单位向量，ab0.若向量c满足|cab|1，则|c|的最大值为()A B C D答案：C解析：可利用特殊值法求解可令a(1,0)，b(0,1)，c(x，y)由|cab|1，得，(x1)2(y1)21.|c|即为，可看成M上的点到原点的距离，|c|max|OM|1.故选C9(2013湖南，文9)已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使APB的最大边是AB”发生的概率为，则()A B C D答案：D解析：如图，设AB2x，AD2y.由于AB为最大边的概率是，则P在EF上运动满足条件，且DECFx，即ABEB或ABFA，即4x24y2x2，即x24y2，.又，故选D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分10(2013湖南，文10)已知集合U2,3,6,8，A2,3，B2,6,8，则(UA)B_.答案：6,811(2013湖南，文11)在平面直角坐标系xOy中，若直线l1：(s为参数)和直线l2：(t为参数)平行，则常数a的值为_答案：4解析：l1的普通方程为：x2y1，l2的普通方程为：xa，即，a4.12(2013湖南，文12)执行如图所示的程序框图，如果输入a1，b2，则输出的a的值为_答案：9解析：输入a1，b2，不满足a8，故a3；a3不满足a8，故a5；a5不满足a8，故a7；a7不满足a8，故a9，满足a8，终止循环输出a9.13(2013湖南，文13)若变量x，y满足约束条件则xy的最大值为_答案：6解析：画出可行域，令zxy，易知z在A(4,2)处取得最大值6.14(2013湖南，文14)设F1，F2是双曲线C：(a0，b0)的两个焦点若在C上存在一点P，使PF1PF2，且PF1F230，则C的离心率为_答案：解析：如图所示，PF1PF2，PF1F230，可得|PF2|c.由双曲线定义知，|PF1|2ac，由|F1F2|2|PF1|2|PF2|2得4c2(2ac)2c2，即2c24ac4a20，即e22e20，.15(2013湖南，文15)对于Ea1，a2，a100的子集X，定义X的“特征数列”为x1，x2，x100，其中xi1xi2xik1，其余项均为0.例如：子集a2，a3的“特征数列”为0,1,1,0,0，0.(1)子集a1，a3，a5的“特征数列”的前3项和等于_；(2)若E的子集P的“特征数列”p1，p2，p100满足p11，pipi11,1i99；E的子集Q的“特征数列”q1，q2，q100满足q11，qjqj1qj21,1j98，则PQ的元素个数为_答案：(1)2(2)17解析：(1)a1，a3，a5的特征数列为1,0,1,0,1,0，0，前3项和为2.(2)根据题意知，P的特征数列为1,0,1,0,1，0，则Pa1，a3，a5，a99有50个元素，Q的特征数列为1,0,0,1,0,0,1，则Qa1，a4，a7，a10，a100有34个元素，PQa1，a7，a13，a97，共有117个三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16(2013湖南，文16)(本小题满分12分)已知函数f(x)cos x.(1)求的值；(2)求使f(x)成立的x的取值集合解：(1).(2)f(x)cos xcos xcos2xsin xcos x(1cos 2x)sin 2x.f(x)等价于，即.于是2k2x2k，kZ.解得kxk，kZ.故使f(x)成立的x的取值集合为.17(2013湖南，文17)(本小题满分12分)如图，在直棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，ABAC，AA13，D是BC的中点，点E在棱BB1上运动(1)证明：ADC1E；(2)当异面直线AC，C1E所成的角为60时，求三棱锥C1A1B1E的体积(1)证明：因为ABAC，D是BC的中点，所以ADBC又在直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1平面ABC，而AD平面ABC，所以ADBB1.由，得AD平面BB1C1C由点E在棱BB1上运动，得C1E平面BB1C1C，所以ADC1E.(2)解：因为ACA1C1，所以A1C1E是异面直线AC，C1E所成的角，由题设，A1C1E60，因为B1A1C1BAC90，所以A1C1A1B1，又AA1A1C1，从而A1C1平面A1ABB1，于是A1C1A1E.故C1E，又B1C12，所以B1E2，从而A1C1.18(2013湖南，文18)(本小题满分12分)某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：X1234Y51484542这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米(1)完成下表，并求所种作物的平均年收获量；Y51484542频数4(2)在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48 kg的概率解：(1)所种作物的总株数为1234515，其中“相近”作物株数为1的作物有2株，“相近”作物株数为2的作物有4株，“相近”作物株数为3的作物有6株，“相近”作物株数为4的作物有3株列表如下：Y51484542频数2463所种作物的平均年收获量为46.(2)由(1)知，P(Y51)，P(Y48).故在所种作物中随机选取一株，它的年收获量至少为48 kg的概率为P(Y48)P(Y51)P(Y48).19(2013湖南，文19)(本小题满分13分)设Sn为数列an的前n项和，已知a10,2ana1S1Sn，nN*.(1)求a1，a2，并求数列an的通项公式；(2)求数列nan的前n项和解：(1)令n1，得2a1a1a12，即a1a12.因为a10，所以a11.令n2，得2a21S21a2.解得a22.当n2时，由2an1Sn,2an11Sn1两式相减得2an2an1an.即an2an1.于是数列an是首项为1，公比为2的等比数列因此，an2n1.所以数列an的通项公式为an2n1.(2)由(1)知，nann2n1.记数列n2n1的前n项和为Bn，于是Bn122322n2n1，2Bn12222323n2n.得Bn12222n1n2n2n1n2n.从而Bn1(n1)2n.20(2013湖南，文20)(本小题满分13分)已知F1，F2分别是椭圆E：y21的左、右焦点，F1，F2关于直线xy20的对称点是圆C的一条直径的两个端点(1)求圆C的方程；(2)设过点F2的直线l被椭圆E和圆C所截得的弦长分别为a，b，当ab最大时，求直线l的方程解：(1)由题设知，F1，F2的坐标分别为(2,0)，(2,0)，圆C的半径为2，圆心为原点O关于直线xy20的对称点设圆心的坐标为(x0，y0)，由解得所以圆C的方程为(x2)2(y2)24.(2)由题意，可设直线l的方程为xmy2，则圆心到直线l的距离.所以.由得(m25)y24my10.设l与E的两个交点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则y1y2，y1y2.于是.从而ab.当且仅当，即时等号成立故当m时，ab最大，此时，直线l的方程为xy2或xy2，即xy20，或xy20.21(2013湖南，文21)(本小题满分13分)已知函数f(x)ex.(1)求f(x)的单调区间；(2)证明：当f(x1)f(x2)(x1x2)时，x1x20.(1)解：函数f(x)的定义域为(，)f(x)exex.当x0时，f(x)0；当x0时，f(x)0.所以f(x)的单调递增区间为(，0)，单调递减区间为(0，)(2)证明：当x1时，由于0，ex0，故f(x)0；同理，当x1时，f(x)0.当f(x1)f(x2)(x1x2)时，不妨设x1x2，