第5讲平均互信息的凸性2014

平均互信息的凸性,第五讲,平均互信息,定义及含义,信息/数据处理定理,性质：对称性、非负性、极值性,山农信息论：为设计有效而可靠的通信系统提供理论依据,2.给定信道，实现可靠通信的最大的传输速率即信道容量？,信源编码定理：RR(D),信道编码定理：RC,问题：对应互信息的最大值和最小值是否存在？,互信息凸性,回答2个问题：有效性，可靠性,1.给定信源，保精度信源编码所需最小编码速率？,凸集,若集合,（n维欧氏空间），有,且对任意实数,，有,显然，n维欧氏空间,为一凸集合。,01,则称为C为凸集合。,概率矢量构成集合为凸集,定义若一个K维矢量=(1,2,K)的所有分量为非负的，且和为1，即就称为概率矢量。,引理概率矢量全体所构成的区域R是凸的。,证：若,R，对01构造矢量=(1-),因此是概率矢量，仍属于R，所以R是凸的。,凸函数定义,定义在凸集R上的一个实函数f，若它对所有，R和01满足f()+(1)f()f(1)就称函数f为R上的凸函数。若式中不等号的方向相反，就称f为凸函数。若等号仅当=0或1时成立，就称f为严格凸或严格凸的。,在a,b上定义的上凸函数,在a,b上定义的下凸函数,凸函数性质,1)若f()是凸的，则-f()是凸的，反过来也成立。,2)若f1(),f2(),fL()是R上的凸函数，c1,c2,cL是正数，则为R上的凸函数，若其中任一个是严格凸的，则和式也是严格凸的。,3)(Jensen不等式)若f()是R上的凸函数，则,Ef()f(E(),Jensen不等式:若f()是R上的凸函数，则Ef()f(E()其中，E表示数学期望。证明：只对离散情况证明。对于离散变量，令，则Ef()f(E()可写成可用归纳法进行证明。对两点分布，根据凸函数的定义有假设当分布点个数为n时不等式成立，考察分布点个数为n+1时的情况。,对，令则有,定理:如果函数f(x)在某个区间上存在非负(正)的二阶导数，则f(x)为该区间上的凸函数(严格凸函数)。证明：利用函数f(x)在x0点的泰勒级数展开:其中x*位于x0和x之间。根据假设，因此，对任意的x，最后一项总是非负。设，00。选择另一概率矢量满足式中。于是有对于也可选负值和正数，有和,即,对，因为概率矢量的关系只能选择，由此,得,证毕,熵的凸性,证明：,令,则,由于,当且仅当时等号成立,平均互信息量凸性,由互信息的定义式：可知，它是输入分布及转移概率分布的函数。可以记为：如果转移概率分布固定，I(X,Y)就是先验概率Q(X)的函数；如果信源先验概率固定，I(X,Y)就是转移概率P(Y/X)的函数。,例设二元对称信道(BSC)的信源空间为：X=0,1;Q(X)=,1-;求I(X;Y),01-p0pp,11-p1,因为已知转移概率，所以利用公式I(X,Y)=H(Y)-H(Y/X)。,H(Y/X)=-q(xi)p(yj/xi)logp(yj/xi)=q(xi)-plogp+(1-p)log(1-p)=H(p),其中：H(p)=-plogp+(1-p)log(1-p),另外：为了求H(Y)，利用w(yj)=q(xi)p(yj/xi)；可得：w(y=0)=(1-p)+(1-)pw(y=1)=p+(1-)(1-p),H(Y)=-(1-p)+(1-)plog(1-p)+(1-)p+p+(1-)(1-p)logp+(1-)(1-p)=H(1-p)+(1-)p),可得平均互信息量为：I(X,Y)=H(1-p)+(1-)p)-H(p),当固定信源先验概率分布时，I(X,Y)是信道转移概率p的下凸函数，如图所示。01/21p从图中可知，当信源固定后，存在一种BSC信道，p=1/2，使在信道输出端获得信息量最小，即等于0。,I(X,Y),H(),根据这个关系，当p值一定，即固定信道，可知I(X,Y)是的上凸函数，其曲线如图：I(X,Y)1-H(p)01/21从图中可知，当BSC信道的信道矩阵固定后，若输入符号集X的概率分布不同，在接收端平均每个符号获得的信息量就不同。只有当输入为等概分布时即，p(0)=p(1)=1/2时，接收端的信息量才为最大值1-H(p)。,定理2.5.2当条件分布p(y/x)给定时，平均互信息I(X;Y)是输入分布q(x)的凸函数。证明：令q1和q2是输入集X上的任意两个概率矢量，相应的互信息为I1和I2，令满足01，q=q1(1)q2是合成概率矢量，此时输入X和输出Y之间的互信息为I。今需要证明:.令p1(xy)=q1(x)p(y/x),p2(xy)=q2(x)p(y/x),有p(xy)=q(x)p(y/x)=p1(xy)(1)p2(xy),根据平均互信息的定义，得,因为logx是严格凸函数，利用Jensen不等式，所以,当信道一定时，平均互信息是信源先验概率的上凸函数,对于一定的信道转移概率分布，总可以找到一个先验概率分布为P的信源X，使平均互信息达到相应的最大值Imax，这时称这个信源为该信道的匹配信源。不同的信道转移概率对应不同的Imax，或者说Imax是P(Y/X)的函数。,平均互信息的凸性,定理2.5.3当集X的概率分布保持不变时，平均互信息量是转移概率分布p(y/x)的下凸函数。证明：令p1和p2是两个任意转移概率分布，相应的平均互信息为I1和I2，令满足01,p=p1(1)p2是合成条件概率分布，此时输入X和输出Y之间的互信息为I。今需要证明.令根据平均互信息的定义，得,因为logx是严格凸函数，利用Jensen不等式，所以证毕,当信源一定，平均互信息是信道转移概率的下凸函数对于一个已知先验概率为P的离散信源，总可以找到一个转移概率分布为P(Y/X)的信道，使平均互信息达到相应的最小值Imin。可以说不同的信源先验概率对应不同的Imin，或者说Imin是P(X)的函数。即平均互信息的最小值是由体现了信源本身的特性。,平均互信息的凸性,离散随机矢量,问题：,如果输入是相互独立的，输出Y所提供的