不等式教学中数学思想方法渗透

不等式教学中数学思想方法渗透(2020年10月初)双凤中学 王 彪内容提要：近年来我国高考大纲明确提出考查学生“数学知识和思维能力”，还要考查学生“数学思想方法”的运用能力.数学思想方法是在学生熟练掌握、性质、公式、定理、公理等数学基本知识和基本技能的基础上形成的，是这些知识的提炼和升华，而学生对数学思想和方法的形成和掌握主要靠我们教师在教学教学过程中逐步渗透，本文就我在高二数学第六章不等式的教学中渗透数学思想和方法，谈谈我的做法.关键词： 数学思想方法 思维能力 不等式 渗透数学思想方法，简单地说就是我们平常所说的数学意识或数学素养或数学理发思维，它是处理和解决数学问题的根本方法，是对数学规律的理性认识，而数学方法是以数学事实与理论工具进行探索的手段，它们互为表里、密切相关，因此我们常称为数学思想方法.中学数学教学最主要目的就是通过对知识的教学、培养学生良好的思维品质，因此在教学过程中，注意对形成数学思维方法的训练，把知识型转化为能力型，是我们实施素质教育的重要的一环.近年来我国高考大纲明确提出考查学生“数学知识和思维能力”，还要考查学生“数学思想方法”的运用能力.数学思想方法是在学生熟练掌握、性质、公式、定理、公理等数学基本知识和基本技能的基础上形成的，是这些知识的提炼和升华，而学生对数学思想和方法的形成和掌握主要靠我们教师在教学过程中逐步渗透，本文就我在高二数学第六章不等式的教学中渗透数学思想和方法，谈谈我的做法.当然数学思想方法比较多，我们只能充分利用现有课程资源，特别是课本，有意识地逐步渗透，为了体现新教材中的新理念，本文所举例主要来自课本，希望与大家共同开发教材，让学生脱离题海之苦.例1. 解不等式a(2x-a)2(x-3a)+5. 其中x 为未知数学, a为参数.解：原不等式即为2(a-1)x (a-1)(a-5)故当a1时，不等式的解是x ；当a=1时，不等式无解；当a1时，不等式的解是x c,而该不等式中存在形式一致的式子，考虑函数(x0,m0)单调性，因为(m0)在（0，+）上是单调增函数，所以,即.例5（课本P16练习第2题）求证（ac+bd）2(a2+b2)(c2+d2)分析：本题用作差法、分析法、综合法都容易证，但根据式子特点，构造二次函数，f(x)= (a2+b2) x2-2（ac+bd）+(c2+d2)=(ax-c)2+(bx-d)20.且a2+b20,由二次函数理论得=4（ac+bd）2-4(a2+b2)(c2+d2)0,从而（ac+bd）2(a2+b2)(c2+d2).另解：若结合向量知识，令=（a,b）,=(c,d),则由|两边平方即得证.点评:这两题体了函数思想，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：函数的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等.构造函数或向量,关键在于对结论形式的充分认识,在于所学知识的完整掌握,在此渗透数学思想用利于培养学生思维的深刻性与创新性.例6.(P23习题6.5第5题)求证:(AB0)分析：本题为超越不等式，大纲似乎不作要求，但利用对数的运算性质及对数的单调性，本题即化归为，而这一不等式为必然成立的不等式.点评：本题涉及化归思想，即根据主体已有的知识经验，通过观察、联想、类比等手段，把问题进行变换、转化直至化为已经解决或容易解决的问题的思想.例7（课本P17习题6.3第5题）已知a3,B BACD1求证： 分析：分析法证明本题简单易行，下面提供一个新的证法.证明：构造如图所示的直角三角形，在RtABC中，则有.在ABC中，ADBDAB，即点评：本题涉及数形结合思想，即通过数形间的对应与相互联系来研究问题并解决问题的思想. 在教学中渗透这种思想，使图形性质借助于数量关系的推演而具体量化，使数量关系借助于几何直观形象化，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，将抽象思维与形象思维结合起来，实现抽象概念与具体表象的联系与转化，可培养思维的策略性和创造性.该证法使学生难以想到，但从开阔视野的角度它有独到好处.数形结合思想在中学数学教学中有着重要的地位,希望在不同的章节逐渐渗透. 例8.(P16习题6.3第1题)求证: a2+ b2+ c2ab+bc+ca分析:本题用作差法就有几种解法，也可用综合法.在作差法中若写成f(a)=a2-(b+c)a+b2+ c2-bc,即可看成以a为主元（未知数）的二次函数，则=（b+c）2-4(a2+ b2-bc)=-3(b-c)20,从而可知f(a) 0, 即a2+ b2+ c2-（ab+bc+ca）0.故原不等成立.点评:本题中涉及的数学思想称为主元思想,题中有三个变元, 如果我们选择一个元作主未知量,其余的看作常数的方法,从而转化为用二次函数理论来解决,严格来说,它应归结为函数思想. 渗透主元思想，有助于培养思维的求异性、高效性。中学数学教学内容可分为两个层次,一是教学大纲中明确规定的,教材中明确给出的,二是新教学理念中所强调的数学理性思维或数学思想方法.学生只有通过对教材的学习,熟练掌握双基后,才能进一步学习和领悟相关的数学思想方法,而数学思想方法蕴含于双基中,是数学的精髓,教师在讲授基础知识的过程中应不断渗透相关的数学思想方法,让学生逐步领悟,这样学生