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一般数列的求和方法对于等差数列和等比数列而言，我们采用倒序相加法和错位相减法来求他们的前项和，而对于一般地数列我们可以从求等差数列和等比数列的前项和的方法受到启发，得到下面的几种方法，这些方法是我们求一般数列的通法，只要大家能够理解这些方法的适用范围，并且根据这些方法对新出现的数列都可以化为下面的形式，那么数列的求和问题就不会太难。现将这些方法总结如下：一 公式法对这些比较简单常见的数列，我们可以记下他们的前项和，在题目里我们可以直接利用它们。（1） （2） （3） （4） （5） （6） 例1 求的和。解： 由等差数列的求和公式 得二 分组结合法（裂项法）若数列的通项公式为，其中、中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般利用分组结合法。例 2 求数列的前项的和。解：因为 所以 三 拆项相消法若一个数列的每一项都可以化为两项之差，并且前一项的减数恰与后一项的被减数相同，求和时中间项互相抵消，这种数列求和的方法就是裂项相消法。例 3 ，求。解：因为 所以 常见的拆项公式有：（1） （2） （3） （4） （5） 四 错位相减法若数列的通项公式，其中、中一个是等差数列，一个是等比数列求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比，然后再将所得新和式与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和。这种方法叫错位相减法。例4 求数列的前项的和。解： 两式相减，得 所以 五 倒序相加法如等差数列的前项和的求法就是采用这种办法，即先倒序书写这个数列，然后再把原数列和倒写后的数列对应项相加可以求得原数列的前项和。六 数学归纳法在06年的高考题中，出现了求数列的通项公式，其中要先求出该数列前项和，然后根据其前项和来求其通项公式。在求前项和时没有用到前面我们所提到的几种方法，而是根据归纳猜想验证即数学归纳法来得到的。例5 （06年全国高考理科22题）设数列an的前n项和为Sn，且方程x2anxan0有一根为Sn1，n1，2，3，（）求a1，a2；（）an的通项公式。解：()当n1时，x2a1xa10有一根为S11a11，于是(a11)2a1(a11)a10，解得a1当n2时，x2a2xa20有一根为S21a2，于是(a2)2a2(a2)a20，解得a1()由题设(Sn1)2an(Sn1)an0，即Sn22Sn1anSn0当n2时，anSnSn1，代入上式得Sn1Sn2Sn10由()知S1a1，S2a1a2由可得S3由此猜想Sn，n1，2，3，下面用数学归纳法证明这个结论(i)n1时已知结论成立(ii)假设nk时结论成立，即Sk，当nk1时，由得Sk1，即Sk1，故nk1时结论也成立综上，由(i)、(ii)可知Sn对所有正整数n都成立于是当n2时，anSnSn1，又n1时，a1，所以an的通项公式a
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