应用“垂面、三垂线定理”求“二面角”人教版

应用“垂面、三垂线定理”求“二面角”王志强三垂线定理及其逆定理是立体几何中最重要的知识点。三垂线定理及其逆定理，概括起来，可叙述为：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线或此斜线的射影，若垂直其中之一，则必垂直于另一。欲运用上述定理解题，关键注意以下几点：要善于观察平面不是水平位置的情况，即选好“平面”。要注意四条线：平面内的一条直线、斜线、垂线、射影，找出（作出）垂线是至关重要的；三垂线定理及其逆定理的本质是线线垂直和线面垂直的转化。若利用三垂线定理作二面角的平面角（这里以二面角为锐角加以说明，以下若不作说明，都是以锐角为例，当然若遇到钝角可以转化为求锐角的大小）。我们知道关键是由一个半平面内一点，作另一个半平面的垂线，此垂线恰是三垂线定理所需的、至关重要的垂线，而这条垂线往往由两个平面垂直的性质定理来提供！因为两个平面垂直的性质定理的结论正是线面垂直。即：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线，就垂直于另一个平面（简记为：面面垂直找交线，垂直交线垂直面。）。这样在解题过程中，三垂线定理及两面垂直的性质定理两者有机地结合起来，达到严密推理，快速解题之目的。综上所述，我们在作二面角的平面角时，可先找与二面角两个半平面其中之一垂直的第三个平面（怎样尽快找到第三个平面呢？可从结论出发，使用逆向思维）。若存在（已知图形中不存在，可以作）第三个平面，就在此平面内作交线的垂线，就等于作出了那个半平面的垂线，这时要注意在第三个平面内，过哪一点向交线作垂线呢？回答是这个点必在另一个半平面内（此点常常选在三角形的不落在棱上的一个顶点，有时看结论所求二面角的形式，就知道这一“点”。），这样才可利用三垂线定理作出二面角的平面角，此平面角含在封闭的直角三角形中，到此完成了由二面角向平面角转化的过程。例1 直三棱柱的底面是等腰直角三角形，AC=1，。连结、，求二面角的大小。分析 从结论“求二面角的大小”出发，一方面考虑从点A向平面引垂线，关键是看这条垂线是否落在垂直于平面的某一“垂面”内？换句话说在图中有没有垂直于平面的某个平面？如图1找一下，没有。这时从另一方面就该调换个角度考虑从点C向平面引垂线，同样找一找在图中有没有垂直于平面的某个平面？显然存在，就是底面ABC。那么在底面ABC内，过点C引CD于D，D为AB的中点，由两个平面垂直的性质定理可知：CD平面，下面的道路比较平坦了，在侧面内利用三垂线定理作出二面角的平面角：过D向棱引垂线，即DE于E，连结CE，有，故是二面角的平面角。利用平几知识，在中易求从上面的例子不难看出，“垂面ABC”在证题中的重要作用。所以我们在做这类题时，关键是找垂直于二面角的两个半平面之一的“垂面”。为了尽快找到，一般可以从结论出发，逆向思维是比较快的。如果把垂直的两平面的“交线”定义为“基线”，那么整个过程可以概括为：“垂基垂棱连”。把整个求作二面角的平面角的过程归纳为以下思维程序：探求结论二面角的形式，如形式，在图中是否存在（或作出）过点A且垂直于平面CDB的垂面？否则探求过点B且垂直于平面ACD的垂面？两者选在图中存在“垂面”的寻找二面角的一个面与它的垂面这两个面的交线在垂面内作交线的垂线（即得二面角的一个面的垂线段且夹在二面角之间）利用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角。按照以上思维程序进行探索，往往思维畅通无阻。例2 在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，沿对角线BD把ABD折起来，使A在平面BCD上的射影E落在BC上，则二面角的正弦值为_。分析 先探求过点D向平面ABC作垂线的问题，由已知AE平面BCD，所以平面ABC平面BCD平面ABC平面BCD=交线BC在平面BCD内由，所以DC平面ABC（垂线段DC夹在两面ABC、ABD之间）利用三垂线定理的逆定理，即由斜线DA棱AB，得射影CA棱AB，故是二面角的平面角。在中不难得出例3 如图3，在ABC中，平面ABC，若SA=SB=BC，求二面角的大小。分析 方法1 考虑由点B向平面SAC引垂线，因为底面BAC侧面SAC，底面BAC是垂面，再求“垂基垂棱连”，按这样的思路如图4，可得EFB是二面角BSCA的平面角。设SA=AB=BC=a，最后求得。方法2 考虑由点A向平面SBC引垂线，读者易