椭圆的几何性质 苏教版选修2-1

椭圆的几何性质一、教学目标掌握椭圆的几何性质：范围、对称性、顶点、长轴、短轴、离心率；掌握椭圆标准方程中a、b、c关系；能根据条件利用工具画出椭圆二、教学重点：椭圆的几何性质教学难点：椭圆离心率与椭圆关系三、教学过程：(一)、复习回顾：（1） 椭圆的定义（2） 椭圆的标准方程（3） 椭圆中a,b,c的关系（二）、讲授新课：范围：椭圆位于直线和所围成的矩形里原因：由标准方程可知，椭圆上的点的坐标（x,y）都适合不等式即,2对称性： 从图形上看：椭圆关于x轴、y轴、原点对称。从方程上看： （1）把x换成-x方程不变，图象关于y轴对称；（2）把y换成-y方程不变，图象关于x轴对称；（3）把x换成-x，同时把y换成-y方程不变，图象关于原点成中心对称。顶点：令 x=0，得 y=？，说明椭圆与 y轴的交点？（-a,0）, (a,0)令 y=0，得 x=？说明椭圆与 x轴的交点？(，b), (0,b)(1)顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。(2)长轴、短轴：线段、线段分别叫椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b；(3)a、b的几何意义：a是长半轴的长，b是短半轴的长；离心率：椭圆的焦距与长轴长的比，叫做椭圆的离心率说明因为所以e越接近，则c越接近a，从而越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于，c越接近于，从而b越接近于a，这时椭圆就接近于圆；当且仅当a=b时，c=0，这时两焦点重合，图形变为圆对于上述性质要求学生熟练掌握，并能由此推出焦点在y轴的椭圆标准方程的几何性质（要求学生自己归纳），并能根据椭圆方程得到相应性质（三）典型例题例求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形解：把已知方程化成标准方程这里a=,b=4,所以因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是2a=10和2b=8，离心率，两个焦点分别是（，）和（，），椭圆的四个顶点是（，），（，），（，）和（，）将已知方程变形为，根据在范围算出几个点坐标：x012345y43.93.73.22.40先描点画出椭圆的一部分，再利用椭圆的对称性画出整个椭圆说明：本题在画图时，利用了椭圆的对称性，利用图形的几何性质，可以简化画图过程，保证图形的准确性根据椭圆的几何性质，用下面方法可以快捷地画出反映椭圆基本形状和大小的草图：以椭圆的长轴、短轴为邻边画矩形；由矩形四边的中点确定椭圆的四个顶点；用曲线将四个顶点连成一个椭圆，画图时要注意它们的对称性及顶点附近的平滑性例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)经过点P(3，0)、Q(0，2)；解：(1)由椭圆的几何性质可知，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，所以点P、Q分别是椭圆长轴和短轴的一个端点于是得a3，b2又因为长轴在x轴上，所以椭圆的标准方程为(2)由已知， a10，c6 b2=10262=64由于椭圆的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，所以所求椭圆的标准方程为例3 如图88，我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道，是以地心(地球的中心)F2为一个焦点的椭圆已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面439km，远地点B(离地面最远的点)距地面2384km，并且F2、A、B在同一直线上，地球半径约为6371km求卫星运行的轨道方程(精确到1km) 解：如图88，建立直角坐标系，使点A、B、F2在x轴上，F2为椭圆的右焦点(记F1为左焦点)因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为则ac|OA|OF2|F2A|=63714396810，ac=|OB|OF2|=|F2B|=63712384=8755解得a7782.5，c972.5用计算器求得b7722因此，卫星的轨道方程是(四)小结解法研究图形的性质是通过对方程的讨论进行的，同一曲线由于坐标系选取不同，方程的形式也不同，但是最后得出的性质是一样的，即与坐标系的选取无关前面我们着重分析了第一个标准方程的椭圆的性质，类似可以理解第二个标准方程的椭圆的性质布置学生最后小结下列表格：五、作业1求下列椭圆的长轴和短轴的长、焦距、离心率、各个顶点和焦点坐标：(1)25 +4100=0，(2) +41=02、.设a,b,c分别表示同一椭圆的长半轴长,短半轴长,半焦距长,则a,b,c的大小关系是-5.选择题：在下列方程所表示的曲线中，关于x轴、y轴都对称的是 A=4yB2xyy=0C45xD9=46求适合下列条件的椭圆的标准方