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二重积分的计算小结一、知识要点回顾1二重积分的定义；2.二重积分的几何意义及其物理模型。 二重积分的几何意义就是以为底，以为顶的曲顶柱体的体积，其物理模型就是一个曲顶柱体。3.二重积分在直角坐标系下的计算（1）若积分区域D是由两条直线x=a,x=b,以及两条曲线y= 1(x),y= 2(x) (1(x) 2(x),axb)所围成，则 =（2）若区域D是由两条直线y=c,y=d以及两条曲线x=1(y),x=2(y)(1(y) 2(y),cyd)所围成，则4.极坐标下二重积分的计算法 x=,y=如果区域D是由从极点出发的两条射线，（）和两条曲线 （）所围成，则 5曲线坐标下二重积分的计算法设函数在直角坐标平面上的封闭区域上连续，有一阶连续偏导数，而且雅克比行列式 则 二二重积分的计算举例图41. 计算二重积分，其中为由直线与曲线所围成的区域解：画出积分域如图所示解方程组解得图中的两个交点为，可表示为D=， 于是2.计算二重积分的值，其中积分区域为。解：由对称性可以只考虑第一象限的积分域采用极坐标。则积分区域变为 于是 3，计算二重积分的值的大小，其中D是由轴，轴以及x+y=2所围成的封闭区域。解： 如图1，由题意，可设 则可得 ， 图1 图2所以积分区域变为图2中的封闭区域，从而所以 图6 4设，求，其中。解：积分区域为圆以外的部分 设图中阴影区域为 D0=于是5计算二次积分分析 若直接计算题目所给的二次积分，将首先遇到求的原函数的问题，它是无法计算的，因此，应将二次积分先还原为二重积分，再根据积分区域的特点，选择适当的方法解 由所给的二次积分，我们得积分区域，其中xO yRD1D2图5是一个中心角为，半径为的扇形（图5）因此可以采用极坐标计算，在极坐标系下，有因此小结计算在直角坐标系下二重积分的值的过程中，应正确选择积分的形式，是先对X积分还是先对Y积分，选择正确的积分形式可以提高解题的效率和准确度。 计算极坐标系下二重积分值的步骤： 首先把积分区域的边界方程用极坐标表示；确定的范围，即在极坐标系下表示积分区域； 用分别代换被积函数中的，并把面积元素用替代 计
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