解析几何中求参数范围的五种策略 人教版

解析几何中求参数范围的五种策略徐利琴解析几何中求参数范围或与参数有关的问题，往往是高考的热点之一。本文总结出五种求解这类问题的思考途径与策略。一、利用题设条件中的不等关系若题设条件中有不等关系，可直接利用该条件求参数的范围。例1. （2020全国卷IV）双曲线的焦距为2c，直线l过点（a，0）和（0，b），且点（1，0）到直线l的距离与点（1，0）到直线l的距离之和，求双曲线的离心率e的取值范围。解析：直线l的方程为，即由点到直线的距离公式，且，得到点（1，0）到直线l的距离同理得到点（1，0）到直线l的距离由，即于是得即解得由于，所以e的取值范围是，。二、应用判别式建立不等式关系若题设中给出直线（或曲线）与曲线有公共点或无公共点时，可以把直线方程（或曲线方程）与曲线方程联立起来，消去某一个未知数，得到含另一个未知数的一元二次方程，就能利用判别式建立所含参数的不等式。例2. （2020年全国卷III）设，两点在抛物线上，l是AB的垂直平分线。当直线l的斜率为2时，求直线l在y轴上截距的取值范围。解析：设直线l在y轴上的截距为b，依题意得l的方程为过点A、B的直线方程可写为由，消y得即是方程的两个不同的解，得，且设AB的中点N的坐标为（），则，。由，于是。即得直线l在y轴上截距的取值范围为。点评：该题含有两个参数b，m，先由直线AB与抛物线有两个不同的交点，应用判别式求出参数m的范围，再由题意找出两个参数b，m之间的关系式，最后求出参数b的取值范围。三、根据曲线的范围建立不等关系由椭圆的简单几何性质知，椭圆上任一点的横、纵坐标是有界的，通过有界性就可能找到变量间的不等关系。例3. （2020年辽宁卷）设椭圆方程，过点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满足，点N的坐标为。当l绕点M旋转时，求：（1）动点P的轨迹方程；（2）的最小值与最大值。解析：（1）动点P的轨迹方程是即（1）由点P的轨迹方程知，即。所以，故当时，取得最小值，最小值为；当时，取得最大值，最大值为。点评：这种求最值问题，实质上是先建立目标函数，再由椭圆的范围确定自变量的取值范围，最后求函数的最值。四、挖掘曲线的隐含不等式对于一些特殊曲线，它们自身都包含了一些不等关系。如椭圆长轴长大于短轴长，也大于焦距长，双曲线的实轴、虚轴长小于焦距长。对于圆与椭圆，当点位于其内部或外部时，都满足一定的不等关系。当然有些情况下，不等关系比较隐蔽，只有认真地分析题设中的条件与结论，才能找到所需的含参不等式。例4. （2002年京皖）已知某椭圆的焦点是，过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且。椭圆上不同的两点A（）、满足条件：成等差数列。（1）求该椭圆的方程；（2）求弦AC中点的横坐标；（3）设弦AC的垂直平分线的方程为，求m的取值范围。解析：（1）椭圆方程为。（2）设弦AC中点，可得。（3）由在椭圆上，得两式相减得，即将，代入上式，得9425即（当k0时也成立）。由点P（4，）在弦AC的垂直平分线上，得，即。由P（）在线段BB”上（B”与B关于轴对称），得所以。五、利用基本不等式建立不等关系对于某些与参数范围有关的题目，如果利用上述四种方法不易建立符合题意的不等关系，就看能否利用代数中的基本不等式建立符合题意的不等关系。例5. （2020年浙江卷）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，长轴的长为4，左准线l与x轴的交点为M，。（1）求椭圆的方程；（2）若点P在直线l上运动，求F1PF2的最大值。解析：（1）求得椭圆