第6章内力和内力图(桁架内力计算)

第6章内力和内力图,外力：物体或系统所承受的其它物体对它的作用力（包括约束力）。内力：物体或系统内部，因外力作用而产生的各物体之间或各部分之间的相互作用力。,物体受到外力作用而变形时，其内部各质点间的相对位置将有变化。与此同时，各质点间的相互作用力也发生了改变。上述相互作用力由于物体受到外力作用而引起的改变量就是内力。内力的计算是分析构件强度，刚度、稳定性的基础。,6-1平面桁架的内力,1.什么是桁架桁架是由细长直杆组成的几何形状不变的结构。,2.工程实例,6.1.1桁架的概念,所有杆件的轴线都在同一平面内的桁架称为平面桁架。,例：地面卫星接收系统,例：海洋石油钻井平台,例：埃菲尔铁塔,(1)杆件截面形状和尺寸设计；(2)材料选取；(3)强度校核。,3.分析桁架内力的目的,6.1.2模型的建立,1.屋架结构的简化,2.桁架简化的几个假设,(1)各杆在节点处用光滑的铰链连接；(2)各杆的轴线都是直线，并通过铰的中心；(3)所有外力（主动力及支座约束力）都作用在节点上，对于平面桁架，各力的作用线都在桁架的平面内。,根据上述假设，桁架的各个杆件都是二力杆。我们能比较合理的地选用材料，充分发挥材料的作用，在同样跨度和载荷情况下，桁架比梁更能节省材料，减轻自重。,3.平面简单桁架的构成,在平面问题中，为保证桁架几何形状不变，可以由基本三角形ABC为基础，这时是3个节点，以后每增加一个节点，相应增加两根不在一条直线上的杆件，依次类推，最后将整个结构简支，这样构成的桁架称为平面简单桁架。,平面简单桁架杆件数m与节点数n之间的关系为：,m=3+2(n-3)=2n-3,平衡方程数：2n，,未知力数目：m+3,在支座约束力共有3个未知量而且布置恰当的情况下，平面简单桁架是静定的。,三个支座约束力既不汇交也不平行。,6.1.3平面简单桁架的内力计算,1.节点法,例题6-1,如图平面简单桁架，已知铅垂力FC=4kN，水平力FE=2kN。求各杆内力。,取节点为研究对象来求解桁架杆件的内力。,解：先取整体为研究对象,受力如图所示。由平衡方程,联立求解得FAx=2kN,FAy=2kNFB=2kN,例题6-1,取节点A，受力分析如图,设所有杆件均为拉杆。由平衡方程,解得,例题6-1,例题6-1,取节点K，受力分析如图。由平衡方程,解得,取节点C，受力分析如图。由平衡方程,解得,例题6-1,取节点D，受力分析如图。由平衡方程,解得,例题6-1,例题6-1,取节点B，受力分析如图。由平衡方程,例题6-2,如图平面桁架，已知铅垂力FC=4kN，水平力FE=2kN。求KE，CE，CD杆内力。,2.截面法,解：先取整体为研究对象,作受力图。由平衡方程,联立求解得FAx=2kN，FAy=2kN，FB=2kN,例题6-2,由平衡方程,联立求解得,例题6-2,作一截面m-m将三杆截断，取左边部分为分离体，作其受力图。,意义：简化计算,问题：能否去掉零杆?,3.零杆,在一定载荷作用下，桁架中轴力为零的杆件。,注意：(1)载荷改变后，“零杆”可以变为非零杆。因此，为了保证结构的几何形状在任何载荷作用下都不会改变，零杆不能从桁架中除去。实际上，零杆的内力也不是零，只是较小而已。在桁架计算中先已作了若干假设，在此情况下，零杆的内力才是零。首先判断出零杆，对简化桁架计算是有益的。,思考题6-1,在图示载荷下，试判断下列各桁架中的零杆。,思考题6-1参考答案：,4.小结(1)节点法(a)一般先研究整体，求支座约束力；(b)逐个取各节点为研究对象；(c)求杆件内力；(d)所选节点的未知力数目不大于2，由此开始计算。,(2)截面法(a)一般先研究整体，求支座约束力；(b)根据待求内力杆件，恰当选择截面（直截面或曲截面均可）；(c)分割桁架，取其一部分进行研究，求杆件内力；(d)所截杆件的未知力数目一般不大于3。,试用截面法计算图示桁架中指定杆件的内力。,思考题6-2,思考题6-2参考答案：,（取上半部分为研究对象可不求支座约束力）,试计算图示桁架中1、2杆的内力。,思考题6-3,思考题6-3参考答案：,6-2轴力和轴力图,如上图中轴向受力（作用于杆上的外力合力的作用线与杆的轴线重合）的杆件常称为拉伸或压缩杆件，简称拉压杆。其主要变形是纵向伸长或缩短。,拉压杆横截面上的内力，由任一横截面(m-m)一边分离体的平衡条件可知，是与横截面垂直的分布力，此分布内力的合力称为轴力。用符号表示。,内力的大小及指向只有将物体假想地截开后才能确定。,习惯上，把对应于伸长变形的轴力规定为正值（即分离体上的轴力其指向离开截面），对应于压缩变形的轴力为负值（轴力的指向对着截面）。当杆件轴向受力较复杂时，则常要作轴力图，将轴力随横截面位置变化的情况表示出来。,解：要作ABCD杆的轴力图，则需分别将AB、BC、CD杆的轴力求出来。分别作截面1-1、2-2、3-3，如左图所示。,作轴力图。,1-1截面处将杆截开并取右段为分离体，并设其轴力为正。则,Fx=0，-FN1-20=0,例题6-3,FN1=-20kN,负号表示轴力的实际指向与所设指向相反，即为压力。,注意：在作截面取分离体之前不允许应用力的可传性原理，因为外力移动后就改变了杆件的变形性质，并使内力也随之改变。如上例中D处的力若移到C处，则CD段的轴力为零了。但截开后，研究分离体在外力作用下的平衡时，可以应用力的可传性原理。,于2-2截面处将杆截开并取右段为分离体，设轴力为正值。则,Fx=0，-FN2+20-20=0,例题6-3,FN2=0,Fx=0，-FN3+30+20-20=0,FN3=30kN,轴力与实际指向相同。,例题6-3,作轴力图，以沿杆件轴线的x坐标表示横截面的位置，以与杆件轴线垂直的纵坐标表示横截面上的轴力。,当然此题也可以先求A处的支座约束力，再从左边开始将杆截开，并取左段为分离体进行分析。,例题6-3,试作图示杆的轴力图。,思考题6-4,思考题6-4参考答案：,思考题6-5,考虑图示杆的自重，作其轴力图。已知杆的横截面面积为A，材料密度为r，杆的自重为。,思考题6-5参考答案：,6-3扭矩和扭矩图,杆件所受外力经简化后，主要是作用在垂直于杆轴线平面内的力偶，其作用使杆发生扭转。,如上图所示，杆件在横向平面内的外力偶作用下发生扭转变形。其侧面上原有的直线ab变为螺旋线ab,诸横截面绕杆的轴线相对转动，例如B截面相对于A截面转过一角度bOb。,为了分析横截面上的内力，取m-m截面。,由图示任意横截面m-m左边一段杆的平衡条件可知，受扭杆件横截面上的内力是一个作用于横截面平面内的力偶。这一力偶之矩称为扭矩，常用符号T表示。,取(c)图列方程可得相同的计算结果。,扭矩的正负号由右手螺旋法则规定：使卷曲右手的四指其转向与扭矩T的转向相同，若大拇指的指向离开横截面，则扭矩为正；反之为负。,扭矩图：表示扭矩随横截面位置变化的图线。,一传动轴的计算简图如图所示，作用于其上的外力偶矩之大小分别是：MA=2kNm,MB=3.5kNm，MC=1kNm，MD=0.5kNm，转向如图。试作该传动轴之扭矩图。,解：只要求出AB、BC、CD段中任意横截面上的扭矩，即可作出扭矩图。,例题6-4,1-1截面：,T1=MA=-2kNm,分别作截面1-1、2-2、3-3，如右图所示。,考虑1-1截面,例题6-4,例题6-4,该传动轴横截面上的最大扭矩是多少？,思考题6-6,作杆的扭矩图。,思考题6-7,思考题6-7参考答案,6-4剪力和弯矩剪力图和弯矩图,梁：在外力作用下以弯曲为主要变形的杆件。,弯曲：当杆承受的外力作用线垂直于杆轴线（有时不包括力偶）时，杆变形的主要现象是任意两横截面绕垂直于杆轴线的轴作相对转动，同时杆的轴线弯成曲线。,为计算梁的应力和位移，首先应确定梁在外力作用下任一横截面上的内力。,由上图可知，其横截面上的内力根据截面一边分离体的平衡条件有：位于横截面平面内切向分布内力的合力为剪力和位于纵向平面内的内力偶矩为弯矩M。,图中C是横截面的形心。,分析梁左段任意横截面mm上的剪力，由,Fy=0，FA-FS=0,现分析如何求解剪力和弯矩M。,也可取横截面的右边一段梁作为分离体计算，结果相同，但稍复杂。,剪切变形演示,弯曲变形演示,试求下图所示悬臂梁之任意横截面m-m上的剪力和弯矩。,思考题6-8,思考题6-8参考答案：,试求图示截面（1-1、2-2、3-3）上的剪力和弯矩。,解：本题可从右边开始求解，也可从左边开始求解。从右边开始可先不求支座A处的约束力。,取右段分析，考虑1-1截面，有,Fy=0，FS1-2=0，FS1=2kN,例题6-5,取右段分析，考虑2-2截面，有,例题6-5,取右段分析，考虑3-3截面，有,例题6-5,为了验证结果的正确性，可从左边开始进行分析。先求A处的支座约束力，有,下面以左段为研究对象，分析3-3截面上的剪力和弯矩。,例题6-5,此结果与取右段分析的结果相同。,例题6-5,从上例看到，梁的横截面上的内力，一般而言，在不同的横截面上有不同的数值。因此有必要作出梁的内力图剪力图和弯矩图，以直观地表示这些内力随横截面位置变化的情况。从而为梁的强度计算与刚度计算提供重要的依据。,解：取轴x与梁的轴线重合，坐标原点取在梁的左端。以坐标x表示横截面的位置。只要求得x处横截面上的剪力和弯矩，即可画出其内力图。,试作图示梁的剪力图和弯矩图。,例题6-6,根据左段分离体的平衡条件便可列出剪力方程和弯矩方程。有,FS(x)=-qx(0xl),M(x)=-qx2/2(0xl),例题6-6,右图所示为一受满布均布荷载的简支梁，试作剪力图和弯矩图。,解：此梁的支座约束力根据对称性可知：,FA=FB=ql/2,梁的剪力方程和弯矩方程分别为,FS(x)=ql/2-qx(0xl),M(x)=qlx/2-qx2/2(0xl),例题6-7,解：根据整体平衡，求得支座约束力,FA=Fb/l,FB=Fa/l,梁上的集中荷载将梁分为AC和CB两段，根据每段内任意横截面左侧分离体的受力图容易看出，两段的内力方程不会相同。,例题6-8,图示为一受集中荷载作用的简支梁。试作其剪力图和弯矩图。,AC段：,CB段：,例题6-8,AC段：,CB段：,例题6-8,从剪力图上看到，在集中力作用处剪力发生突变，突变的值等于集中力的大小。,发生这种情况是由于把实际上分布在很短区间内的分布力，抽象成了作用于一点的集中力。,例题6-8,例题6-8,若将集中力看为Dx区间上均匀的分布荷载，如左图所示，则在Dx梁段内，剪力从Fb/l沿斜直线过渡到-Fa/l，不存在突变现象。,简支梁如图所示。试作该梁的剪力图和弯矩图。,解：先求支座约束力,例题6-9,分段列出剪力方程和弯矩方程：,AC段：,CB段：,例题6-9,AC段：,CB段：,例题6-9,由弯矩图看到，在集中力偶作用处弯矩值发生突变，突变量等于集中力偶之矩。,例题6-9,通过以上四个例题的分析，你能否总结一些画剪力图和弯矩图的规律吗？,（这个问题我们在第9章中将继续讨论）,思考题6-9,试求图示各指定的横截面上的剪力和弯矩，并作其剪力图和弯矩图。,思考题6-10,思考题6-10参考答案：,FS1=0,