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江西省上饶县中学2020学年高中数学奥林匹克竞赛训练题（177）（无答案）第一试1、 填空题（每小题8分，共64分）1. 在复数范围内，方程的两根为.若，则.2. 已知对任意的实数均有.则的最大值为是.3. 已知数列满足.若数列的前1000项之和为1000，则前2020项的和为.4. 已知函数，实数满足.则.5. 圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，为底面中心，为的中点，动点在圆锥底面内（包括圆周）.若，则点形成的轨迹的长度为.6. 在平面直角坐标系中，定义点与之间的“直角距离”为.若点到的直角距离相等，其中，实数满足，则所有满足条件的点的轨迹的长度之和为.7. 方程的正整数解有组（表示整数的最大公约数）.8. 某中学每层楼有35盏楼灯.现为了节约用电同时又要保证楼道的照明需要，要求：（1） 相邻的两盏楼灯不能同时开；（2） 任意连续三盏楼灯不能同时关.若请你设计不同的照明方式，你最多能设计种不同的照明方式.二、解答题（共56分）9.（16分）已知多项式，其中，为实数.证明：对任意的实数，方程总有一个相同的实数根.10. （20分）已知（为非零常数）为抛物线上一点，过作两条倾斜角互补的直线与抛物线交于另两点.（1） 证明：直线的斜率为定值；（2） 若点位于轴上方，位于轴下方，求面积的最小上界.11.（20分）已知正实数满足.求的取值范围.加 试一、（40分）如图1，和满足如下条件：分别是线段的中点，分别是的内角平分线.证明：.2、 （40分）已知为正整数，方程 有正整数解.证明：存在无穷多个正整数使得.三、（50分）若，且满足，证明：，其中，“”表示轮换对称和.四、（50分）
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