高中数学 2.1平面向量的实际背景及基本概念教案 新人教A版必修4

题目：2.1平面向量的实际背景及基本概念 导学目标 1. 了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.2. 通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.3. 通过学生对向量与数量4. 的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力. 教学重点 理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量. 教学难点 平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系. 导学过程 【基础测评】1、数量常常用什么表示？ABCD2、如图，老鼠由A向西北延着AC方向逃窜，猫在B处向东延着BD方向追去，设问：猫能否追到老鼠？3、请同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？【课前预习】阅读课本7476页完成下列内容1、 向量的概念：我们把这种既有 ，又有 的量叫做 。思考：数量与向量有何区别？2、 向量的几何表示：（1）有向线段： 。（2）有向线段的三要素： 。（3）向量的表示方法： 。 。 。思考：时间、路程、功是向量吗？速度、加速度是向量吗？ 向量与有向线段有什么区别？（4）向量的大小也就是向量长度称为向量的 ，记作 。 （5）零向量： 。记作： 。方向 。 注意： 与的区别，（6）单位向量： 。（7）平行向量： 。（8）相等向量： 。说明：（1）向量与相等，记作；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.（9）共线向量： 。【合作探究】（1）平行向量是否一定方向相同？（2）不相等的向量是否一定不平行？（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（6）两个非零向量相等的当且仅当什么？（长度相等且方向相同）（7）共线向量一定在同一直线上吗？【典型例题】例1、 课本75页例2、 如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量、相等的向量.思考：向量与相等吗？向量与相等吗？【达标检测】1、教材77页练习题2、3、4题2、判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；单位向量都相等；任一向量与它的相反向量不相等；四边形ABCD是平行四边形当且仅当 一个向量方向不确定当且仅当模为0；共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.3、下列量当中不是向量的是（ ）质量；速度；位移；浮力；加速度；路程；功；压强；密度A、2个 B、4个 C 、5个 D、6个【归纳小结】1、 描述向量的两个指标：模和方向.2、 平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比.3、 向量的图示，要标上箭头和始点、终点. 牛刀小试 1、下列说法中不正确的是（ ）A、向量的长度与向量的长度相等 B、任何一个非零向量都可以平行移动 C、长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量 D、两个有共同起点且共线的向量其终点必相同2、下列说法正确的是（ ）A、单位向量都是相等的向量B、长度相等的向量是相等的向量C、任意两个相等的非零向量的始点与终点不一定是一平行四边形的四顶点D、共线向量是在同一直线上的向量3、下列说法中错误的是（ ）A、零向量没有方向 B、零向量与任何向量平行C、零向量的长度为零 D、零向量的方向是任意的4、下列命题正确的是（ ）A、向量与是两平行向量B、若=,则A、B、C、D四点构成平行四边形C、若、都是单位向量则 D、两向量相等的也就是它们的始点、终点相同。5、教材77页 习题2.1 A组题题目：2.2.1向量加法运算及其几何意义 导学目标 1、 1、掌握向量的加法运算，并理解其几何意义； 2、 会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问的能力； 3、 通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法； 教学重点 会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量. 教学难点 理解向量加法的定义.【基础测评】如图：（1）某人从A到B，再从B按原方向到C， 则两次的位移和： 。 （2）若上题改为从A到B，再从B按反方向到C， 则两次的位移和： 。（3）某车从A到B，再从B改变方向到C， 则两次的位移和： 。A BCA B CC A B【课前预习】1、向量的加法定义： 。2、向量加法的法则：三角形法则： 。平行四边形法则： 。3、向量加法的运算律：交换律： 。结合律： 。【合作探究一】三角形法则（“首尾相接，首尾连”）作图，已知向量a、.在平面内任取一点，作a，则向量叫做a与的和，记作a，即 a。 aabba规定：a + 0-= 0 +aa a思考：当在数轴上表示两个共线的向量时，它们的加法与数的加法有什么关系？平行四边形法则 作图：已知向量 在平面内，以同一点为起点以为邻边作平行四边形，则以点为起点的对角线就是与的和，a探究：向量处于什么位置时会有：|+|=|+| 。|+|=| （或） 。总之：|+| |+|【典型例题】例1、如图，已知向量求作向量。（分别用三角形法则和平行四边形法则）ab【合作探究二】探究：数的加法满足交换律与结合律，那么任意向量的加法是否也满足交换律和结合律？画图探索？例2、长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输，一艘船从长江南岸点出发，以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东。（1） 试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度（保留两个有效数字）（2） 求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度间的夹角表示，精确到度）【达标检测】1、在中，则等于（ ）A 、 B、 C、 D、2、在平行四边形中， 等于（ ）A、 B、 C、 D、3、若表示向东走，表示向北走，则 km,的方向是 。4、化简下列各式（1）(2) 【归纳小结】1、向量加法的平行四边形法则和三角形法则。 2、向量加法的交换律和结合律 牛刀小试 教材84页练习题1、 化简下列各式（1） (2)(3)2、在水流速度为的河中，要使船以的实际航速与河岸成直角行驶，求船在静水中的航行速度的大小和方向题目：2.2.2向量减法运算及其几何意义 导学目标 1. 了解相反向量的概念；2. 掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义；3. 通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物间可以相互转化的辩证思想. 教学重点 向量减法的概念和向量减法的作图法 教学难点 减法运算时方向的确定. 导学过程 【基础测评】1、向量加法的法则：2、在四边形中， . 【课前预习】1 用“相反向量”定义向量的减法（1） “相反向量”的定义：（2） 规定：零向量的相反向量仍是 . 任一向量与它的相反向量的和是 如果a、b互为相反向量，则a = ， b = ，a + b = 。 （3） 向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做 即：a - b = 求两个向量差的运算叫做 。2 用加法的逆运算定义向量的减法： 若b + x = a，则x叫做a与b的 ，记作 。【合作探究】探究一、向量是否有减法？如何理解向量的减法？我们知道，减去一个数等于加上这个数的相反数，向量的减法是否也有类似的法则？ab求作差向量：已知向量a、b，求作向量a - b 注意： 1、差向量“箭头”指向被减数(共起点连终点，指向被减) 2、用“相反向量”定义法作差向量，a - b = a + (-b)思考：） 如果从向量a的终点指向向量b的终点作向量，那么所得向量是 。）若ab， 如何作出a - b？aabb【典型例题】例一、已知向量a、b、c、d，求作向量a-b、c-d. 解： badc 例二、平行四边形中，a，b， 用a、b表示向量、.A B D C变式一：当a， b满足什么条件时，a+b与a-b垂直？变式二：当a， b满足什么条件时，|a+b| = |a-b|？变式三：a+b与a-b可能是相等向量吗？【达标检测】1、 教材87页练习题2、 在中，则等于( )A、 B、 C、 D、3、化简得 ( )A、 B、 C、 D、04、设表示向西走，表示向北走，则表示向（ ）A、南偏西走 B、北偏西走 C、南偏东走 D、北偏东走5.向量满足，则的最大值为 ，最小值为 。【归纳小结】向量减法法则。 牛刀小试 的是（ ） 2D、E、F分别是ABC的边AB、BC、CA的中点，则下列等式中正确的是（ ）3.任给向量则恒有 （ ）4.点是的重心,则为 ( )题目：2.2.3向量的数乘运算及其几何意义 导学目标 (1)掌握向量数乘运算法则，并理解其几何意义； (2)让学生能由实数运算律类比向量运算律，并且验证强化对知识的形成过程的认识，正确表示结果； (3)初步学会用向量的方法解决几何问题和实际应用问题。 教学重点 向量的数乘运算法则的理解及几何意义。 教学难点 正确运用法则解决几何问题。 导学过程 【基础测评】1、化简的结果等于 。2、已知一点到平行四边形的三个顶点的向量分别为，则向量等于 。3、若则的取值范围是 。【课前预习】1、向量数乘（实数和向量相乘）的定义：实数和向量的乘积是一个 ，记作 ，且 。当时，的方向与的方向 。当时，的方向与的方向 。当时，= 。2、实数和向量相乘所满足的运算率:(1)、，= ；(2) ；(3) 。3、定量：向量与非零向量共线当且仅当 。【合作探究】1、已知如图向量为非零向量，试用作图方式表示和（）+（）+（）你会得出什么结论？向量的数乘： 。记作： 。长度和方向规定：2、 实数与向量的运算率(1)、，= ；(2) ；(3) 。思考：你能根据实数与向量的积的定义，解释运算率的几何意义吗？例1、 计算（1）（2）（3）思考：引入向量数乘运算后，你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗？共线向量定理： 。例2、如图：已知任意两个非零向量，试作，你能判断三点之间的位置关系吗？为什么？变式训练：已知，试判断与是否共线A B D C例3、如图：平行四边形的两条对角线相交于点，且，你能用表示和吗？ 【达标检测】课本90页练习1、下列各式中不表示向量的是： （ ）A、 B、 C、 D、2、化简的结果为（ ）A、 B、 C、 D、3、若为平行四边形的中心，则等于（ ）A、 B、 C、 D、4、点在线段上，且，则 =, .5、若与的方向相反，且，则 。6、设是两个不共线的非零向量，若向量试证:三点共线【归纳小结】1、 理解实数与向量的积的意义。2、 能说出实数与向量的积的三条运算律，并会运用它们进行运算。3、 会表示与非零向量共线的向量，会判断两个向量共线 牛刀小试 课本91习题2.2A组2、3、4、8、9、11、12、13题B组2、3、4题1、下列各式叙述不正确的是（ ）A、若 ，则共线B、若，则共线。C、若则。D、若，则2、点在线段上，且=,则= 。A 、 B、 C、 D、3、若，其中为已知向量，则未知向量= 。4、已知向量的方向是东南方向，且=4，则向量-2的方向是 ， 。题目：2.3.1 平面向量基本定理 导学目标 （1）了解平面向量基本定理；（2）理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；（3）能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达. 教学重点 平面向量基本定理. 教学难点 平面向量基本定理的理解与应用. 导学过程 【基础测评】1、设是的边上的中线，若则等于 。2、在平行四边形中, 为的中点，则 。（用表示）【课前预习】1、 平面向量基本定理（1）定理：如果e1、e2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的任意向量， 一对实数使= 。（2）我们把不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内 的一组 。2、夹角（1）已知两个 向量和作，则叫做向量与的 。（2）向量夹角的范围是 ；当与同向时，夹角= 。当与反向时，夹角= 。（3）如果向量与的夹角是 ，我们说与垂直，记作： 。 【问题探究】问题：如图，设、是同一平面内两个不共线的向量,是这一平面内的任一向量,我们通过作图研究与、之间的关系.请完成： 给定平面内任意两个不共线的非零向量、，请你作出向量=3+2、=-2. 由可知可以用平面内任意两个不共线的非零向量、来表示向量,那么 平面内的任一向量是否都可以用形如1+2的向量表示呢? （试一试）平面向量基本定理： 【定理说明】:(1)我们把不共线向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底;(2)基底不唯一,关键是不共线;(3)由定理可将任一向量在给出基底、的条件下进行分解;(4) 基底给定时，分解形式惟一. 1，2是被，唯一确定的数量提出问题 平面中的任意两个向量之间存在夹角吗？若存在,向量的夹角与直线的夹角一样吗？ 已知两个非零向量和 (如图),作=,=,则AOB=叫做向量与的夹角 显然,当=0时, 与同向;当=180时, 与反向.因此,两非零向量的夹角在区间 内。 如果与的夹角是90,我们说与垂直,记作.【典型例题】例1、已知向量、 (如图),求作向量-2.5+3.（你有几种作法）【达标检测】1、设e1、e2是同一平面内的两个向量，则有( )A.e1、e2一定平行 B.e1、e2的模相等C.同一平面内的任一向量a都有a =e1+e2(、R)D.若e1、e2不共线，则同一平面内的任一向量a都有a =e1+ue2(、uR)2、已知向量不共线，则实数满足，则的值等于 ( )A、3 B、-2 C、0 D、23、若点为平行四边形对角线的交点，则等于 （ ）A、 B 、 C、 D、4、已知两向量不共线，若与共线，则实数 。5、若是中边的三等分点，设，以e1、e2为基底来表示则 , 。3、已知平行四边形中，、分别是边上的中点，若试以为基底表示。【归纳小结】平面向量的基本定理,向量的夹角与垂直的定义 牛刀小试 1、已知矢量a = e1-2e2，b =2e1+e2，其中e1、e2不共线，则a+b与c =6e1-2e2的关系（ ）A.不共线 B.共线 C.相等 D.无法确定2、已知分别是的边上的中线，且，则为（ ）A. B. C. D. 3、已知向量、 (如图),求作向量（1）+2.（2）-+3 4、已知G为ABC的重心,设=a,=b,试用a、b表示向量.题目：2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算 导学目标 1、 能将平面向量的基本定理应用于平面向量的正交分解中。2、 会把向量正交分解,会用坐标表示向量.3、 使学生掌握平面向量的和、差、实数与向量的积的坐标表示方法.4、 理解并掌握平面向量的坐标运算以及向量 教学重点 平面向量的正交分解、平面向量的坐标表示.及坐标运算。 教学难点 理解平面向量的坐标表示及运算。 导学过程 【基础测评】1、你还记得平面向量的基本定量吗？2、对平面中的任意一个向量能否用两个互相垂直的向量来表示？【课前预习】1、把一个向量分解为两个 的向量，叫做把向量正交分解。2、在平面直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量作为基底，对于平面内的一个向量，由平面向量基本定量可知，有且只有一对实数使，我们把有序实数对 叫做向量的坐标，记作： 其中 叫做在 轴上的坐标， 叫做在 轴上的坐标，显然 。 。0= 。3、若点A,B的坐标分别为，那么的坐标为 。4、若则 。 ， 。【合作探究】问题1、我们知道,在平面直角坐标系中,每一个点都可用一对有序实数(即它的坐标)表示.对直角坐标平面内的每一个向量,如何表示呢?能不能象点一样也用坐标来表示？1平面向量的坐标表示 如图，在直角坐标系内，我们分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得我们把 叫做向量的（直角）坐标，记作 其中 叫做在x轴上的坐标， 叫做在轴上的坐标，式叫做向量的坐标表示.与相等的向量的坐标也为 .特别地， 。 。0= 。如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作，则点的位置由唯一确定.设则向量的坐标就是点的坐标；反过来，点的坐标也就是向量的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.【典型例题】例1、 如图,分别用基底、表示向量、,并求出它们的坐标. 思考：已知你能得出，的坐标吗？（运用向量线性运算的结合律和分配律）结论：两个向量和（差）的坐标分别等于 。实数与向量的积的坐标等于 。例2、 已知，怎样求的坐标？结论：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的 坐标减去 的坐标.注意：向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点，终点的具体位置无关，只与其相对位置有关。思考：你能在例2 的图中标出坐标为的点P的坐标吗？例3、 已知=(2，1)， =(-3，4)，求+，-，3+4的坐标.例4、已知ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是(-2,1)、(-1,3)、(3,4),试求顶点D的坐标. 【达标测试】1、已知向量，且，则x= ,y= .2、已知向量与相等，其中，则x= 。3、已知向量，则= 。4、课本100页练习1、2、3、题。【归纳小结】1、平面向量的坐标表示。2、平面向量的坐标运算。 牛刀小试 1、 课本101页A组1、2、3、4、题2、 若、为正交基底，设，则向量对应的点位于（ ）A、第一、二象限 B、第二、三象限 C、第三象限 D、第四象限3、若则（ ）A、 B、 C、 D、4、若则等于 （ ） A、 B、 C、 D、5、已知，求6、已知点且试问：t 为何值时在轴上，在轴上，在第二象限？题目：2.3.4 平面向量共线的坐标表示 导学目标 （1）理解平面向量的坐标的概念；（2）掌握平面向量的坐标运算；（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线. 教学重点 平面向量的坐标运算. 教学难点 向量的坐标表示的理解及运算的准确性 导学过程 【基础测评】1、若，则= ，= ， .2、若，则 。【课前预习】1、 向量共线的坐标表示，设，那么当且仅当 时，向量共线，即共线 。2、 证明三点共线的方法。设，只要证明 共线，便可证得三点共线。3、 线段的中点坐标设，则的中点的坐标为 。4、 设，当时 ， 特别地当是的中点时 ， 【问题探究】问题：1、你还记得向量共线定量吗？2、若，则怎样用坐标表示两个共线向量？3、结论：向量（共线，即共线 【典型例题】例1、已知=(4，2)，=(6， y)，且，求y.例2、给定平面已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(2，5)，试判断A，B，C三点之间的位置关系.例3、设点P是线段P1P2上的一点， P1、P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2).(1) 当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标； (2) 当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标.完成课本100页合作探究【达标检测】1、若且则等于（ ）A、6 B、5 C、7 D、82、已知则共线的充要条件是（ ）A、 B、 C、 D、3、已知向量且则为 （ ）A、 B、 C、 D、4、已知，若与平行，则的值为 。5、设，且则锐角 。6、已知，若在直线上，且，又是线段的中点，则点坐标为 .7、平面内给定三个向量（1） 求满足的实数。（2） 若求实数。8、课本100页练习4、5、6、7题【归纳小结】1、 向量共线的两种刻画形式。2、 证明三点共线的方法。3、 线段中点坐标公式 牛刀小试 1、若且则等于（ ）A、 B、 C、 D、2、点关于的对称点坐标为 ( )A、 B、 C、 D、3、已知向量则A、B、C三点共线则为（ ）A、 B、 C、 D、4、若向量则当= 时与共线且方向相同。5、在平行四边形ABCD中,为中点则 （用表示）【高考链接】（2020年全国卷）1、在三角形ABC中若点满足则（ ）A、 B、 C、 D、（2020年陕西）2、已知向量若，则= 。题目：2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义 导学目标 1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；4.掌握向量垂直的条件. 教学重点 平面向量的数量积定义 教学难点 平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用 导学过程 【基础测评】1、若向量，（且共线则 。2、设，则的中点的坐标为 。【课前预习】阅读课本103105页完成下列内容：我们在物理中学过如果一个物体在力F的作用下产生位移（如图）那么力F所做的功为：W= 。我们能否把“功”看成是力和位移这两个向量的一种运算的结果呢一、两个非零向量夹角的概念已知非零向量与，作，则叫与的夹角.看图说明：（1）当时，与 ；（2）当时，与 ；（3）当时，与 ;记作 ；（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是 的。范围C二、1、平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量 叫与的数量积，记作ab，即有ab = ， 并规定：0与任何向量的数量积为0.2、“投影”的概念： 叫做向量b在a方向上的投影。如果是在方向上的投影呢？ 。 【合作探究一】1向量数量积是一个向量还是一个数量？它的符号什么时候为正？什么时候为负？符号由谁来决定？ 2两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别？三、向量数量积的几何意义： 。四、两个向量的数量积的性质：【合作探究二】设a、b为两个非零向量，1、= 。2、当与同向，则= ，当与反向，则= 。 = 则 。3、 4、 cosq = 。例1、已知|a|=5， |b|=4， a与b的夹角=120o，求ab.【合作探究三】你能推导出向量数量积的下列运算律吗？1交换律：a b = b a2、数乘结合律：(a)b =(ab) = a(b)3、分配律：(a + b)c = ac + bc思考：（1）当，能不能推出一定是零向量？（2）能否推出？（3）成立吗？【典型例题】例2、对于任意的向量a、b能否证明下面的结论？ （1） （2）例3、已知|a|=6， |b|=4， a与b的夹角为60o求：（1）(a+2b)(a-3b) （2）|a+b|与|a-b|.例4、已知|a|=3， |b|=4， 且a与b不共线，k为何值时，向量a+kb与a-kb互相垂直.【达标检测】1、 课本106页练习题2、下列叙述不正确的是（ ）A.向量的数量积满足交换律 B.向量的数量积满足分配律C.向量的数量积满足结合律 D.ab是一个实数3、已知|a|=6，|b|=4，a与b的夹角为，则(a+2b)(a-3b)等于（ ）A.72 B.-72 C.36 D.-364、|a|=3，|b|=4，向量a+b与a-b的位置关系为（ ）A.平行 B.垂直 C.夹角为 D.不平行也不垂直5、已知|a|=3，|b|=4，且a与b的夹角为150，则(a+b) .6、已知|a|=2，|b|=5，ab=-3，则|a+b|=_，|a-b|= .7、设|a|=3，|b|=5，且a+b与ab垂直，则 .【归纳小结】1平面向量的数量积及其几何意义；2平面向量数量积的重要性质及运算律；3向量垂直的条件 牛刀小试 1、已知，则向量在向量方向上的投影为（ ）A、 B、 C、 D、2、已知向量满足，且则与的夹角为 ( )A、 B、 C、 D、3、若O为ABC所在平面内一点，且满足,则ABC的形状为（ ）A、正三角形 B、直角三角形 C、等腰三角形 D、A、B、C均不是4、已知向量a、b满足，求 。5、a，b的夹角为1200，则 。【高考链接】（2020年江西卷）1、已知向量a、b满足，与的夹角为，则在上的投影是： 。（2020年四川卷）2、设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，则（ ）A、8 B、4 C、2 D、1题目：2.4.2平