高三数学圆的方程苏教版（理）知识精讲

高三数学圆的方程苏教版（理）【本讲教育信息】一. 教学内容：圆的方程二. 教学目的：使学生掌握圆的标准方程、一般方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的方程，能运用圆的方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题三. 教学重、难点教学重点：掌握圆的方程的推导步骤；根据具体条件正确写出圆的方程教学难点：运用圆的方程解决一些简单的实际问题四. 基本内容1. 圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆2. 求曲线方程的一般步骤为：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点M的坐标；（2）写出适合条件P的点M的集合；（可以省略，直接列出曲线方程）（3）用坐标表示条件P（M），列出方程；（4）化方程为最简形式；（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点（可以省略不写，如有特殊情况，可以适当予以说明）3. 圆的标准方程 ：已知圆心为，半径为，如何求圆的方程？ 运用上节课求曲线方程的方法，从圆的定义出发，正确地推导出：这个方程叫做圆的标准方程若圆心在坐标原点上，这时，则圆的方程就是4. 圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要三个量确定了且0，圆的方程就给定了这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件确定，可以根据条件，利用待定系数法来解决5. 圆的一般方程： 将圆的标准方程的展开式为：，取得 再将方程配方，得 不难看出，此方程与圆的标准方程的关系（1）当时，表示以（，）为圆心，为半径的圆；（2）当时，方程只有实数解，即只表示一个点（，）；（3）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形综上所述，方程表示的曲线不一定是圆只有当时，它表示的曲线才是圆，我们把形如的表示圆的方程称为圆的一般方程6. 圆的一般方程与圆的标准方程比较，圆的标准方程的优点在于它明确地指出了圆心和半径，而一般方程突出了方程形式上的特点：（1）和的系数相同，且不等于0；（2）没有这样的二次项但要注意：以上两点是二元二次方程表示圆的必要条件，但不是充分条件看来，要想求出圆的一般方程，只要根据已知条件确定三个系数就可以了7. 圆的切线的求法（1）若点（，）在圆+=的外面，则切线方程为（斜率存在时），利用圆心到切线的距离等于半径列出方程，求出k，当斜率不存在时，结合图形求出（2）若点（，）在圆上，则切线方程为（3）若切线斜率为k，则圆的切线方程为8. 有关直线与圆的位置关系问题，为避免计算量过大，一般不用判别式，而是用圆心到直线的距离与半径的大小关系求解；圆与直线的交点问题则常用根与系数的关系简化运算过程 9. 圆与圆的位置关系设两圆的半径分别为R和r（Rr），圆心距为d，则两圆的位置关系满足以下条件：外离d Rr外切相交内切内含【典型例题】例1. 求以C（1，3）为圆心，并且和直线相切的圆的方程解：已知圆心坐标C（1，3），故只要求出圆的半径，就能写出圆的标准方程因为圆C和直线相切，所以半径就等于圆心C到这条直线的距离根据点到直线的距离公式，得因此，所求圆的方程是点评：由本题可知，圆的标准方程是由圆心坐标和半径两因素决定的而且圆的半径与圆的切线有着非常密切的联系，解题要注意运用圆的切线的性质解题时画出草图可帮助思考例2. 已知圆的方程，求经过圆上一点的切线方程解：如图，设切线的斜率为，半径OM的斜率为因为圆的切线垂直于过切点的半径，于是 经过点M的切线方程是 ，整理得 因为点在圆上，所以，所求切线方程是点评：用斜率的知识来求切线方程，这就是“代数方程”：即设出圆的切线方程，将其代入到圆的方程，得到一个关于或的一元二次方程，利用判别式进行求解，但此法不如用几何方法简练实用，几何方法就是利用圆心到直线的距离等于半径（本题利用了圆心到切点的距离为半径的知识），由此确定了斜率的，从而得到点斜式的切线方程，以上两种方法只能求出存在斜率的切线，若斜率不存在，则要结合图形配补例3. 求过三点的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标分析：据已知条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的一般方程则需确定三个系数，而条件恰给出三点坐标，不妨试着先写出圆的一般方程解：设所求的圆的方程为：在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于的三元一次方程组，即解此方程组，可得：所求圆的方程为：；得圆心坐标为（4，3）或将左边配方化为圆的标准方程，从而求出圆的半径，圆心坐标为（4，3）例4. 已知一曲线是与两个定点O（0，0）、A（3，0）距离的比为的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线分析：在求出曲线方程之前，很难确定曲线类型，所以应按照求曲线方程的一般步骤先将曲线方程求出解：在给定的坐标系里，设点是曲线上的任意一点，也就是点属于集合即，整理得：所求曲线方程即为：将其左边配方，得此曲线是以点C（1，0）为圆心，2为半径的圆.如右上图所示例5. 求圆心在直线xy4=0上，且经过两圆和的交点的圆的方程解：设经过两已知圆的交点的圆的方程为则其圆心坐标为所求圆的圆心在直线上，所求圆的方程为说明：此题也可先求出两圆的交点，然后用待定系数法求出圆的方程例6. 如图所示，已知点P是圆上的一个动点，点A是轴上的定点，坐标为（12，0）.点P在圆上运动时，线段PA的中点M的轨迹是什么？分析：应先根据线段中点坐标公式得点M的横、纵坐标，表示出来，然后判断其关系，从而确定其曲线类型解：设点M的坐标是（）圆的参数方程为：又点P在圆上，设P的坐标为（4cos，4sin）由线段中点坐标公式可得点M的轨迹的参数方程为：从而判断线段PA的中点M的轨迹是以点（6，0）为圆心、2为半径的圆 例7. 若实数满足，求的最大值分析一：将圆化为参数方程来解解法一：将圆变为圆的参数方程为代入得=（1+cos）（2+sin）=3+（cossin）=3+cos（+）3+的最大值为3+分析二：令=u代入圆方程来解.解析二：令u=，则代入圆方程得由即3u3+，即3xy3+的最大值为3+例8. 已知对于圆上任意一点P（），不等式恒成立，求实数的取值范围分析：将圆的参数方程代入，转化为求的最值问题来解解：由得其参数方程为：代入，得cos+1+sin+0cossin1sin（）1恒成立，转化为求sin（+）1的最大值，sin（+）1的最大值为11例9. 已知点A（0，2）和圆C：，一条光线从A点出发射到轴上后沿圆的切线方向反射，求这条光线从A点到切点所经过的路程解：设反射光线与圆相切于D点.点A关于轴的对称点的坐标为，则光线从A点到切点所走的路程为在中，即光线从A点到切点所经过的路程是点评：此例的解法关键是利用A关于x轴的对称点在反射光线上，把光线从A点到折射点再到切点D的路程，转化为求线段的长.本例的其他解法都不如这个解法简便例10. 已知圆和直线交于P、Q两点且OPOQ（O为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径分析：利用“OPOQ”求出m，问题可解解：将代入方程，得设P、Q，则满足条件： OPOQ， 而，m=3，此时0，圆心坐标为（，3），半径点评：在解答中，我们采用了对直线与圆的交点“设而不求”的解法技巧，由于“OPOQ，”即等价于“”所以最终应考虑用韦达定理来求m另外，在使用“设而不求”的技巧时，必须注意这样的交点是否存在，这可由判别式大于零帮助考虑例11. 设圆满足：截y轴所得弦长为2；被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1，在满足条件、的所有圆中，求圆心到直线l：x2y=0的距离最小的圆的方程. 解法一： 设圆的圆心为P（a，b），半径为r，则点P到x轴，y轴的距离分别为b， a. 由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90，知圆P截x轴所得的弦长为，故r2=2b2，又圆P截y轴所得的弦长为2，所以有r2=a2+1. 从而得2b2a2=1. 又点P（a，b）到直线x2y=0的距离为， 所以5d2=a2b2=a2+4b24aba2+4b22（a2+b2）=2b2a2=1，当且仅当a=b时上式等号成立，此时5d2=1，从而d取得最小值. 由此有解此方程组得或由于r2=2b2知. 于是，所求圆的方程是（x1） 2+（y1） 2=2，或（x+1） 2+（y+1） 2=2. 解法二：同解法一，得得将a2=2b21代入式，整理得把它看作b的二次方程，由于方程有实根，故判别式非负，即=8（5d21）0，得5d21. 5d2有最小值1，从而d有最小值. 将其代入式得2b24b+2=0. 解得b=1. 将b=1代入r2=2b2，得r2=2. 由r2=a2+1得a=1. 综上a=1，b=1，r2=2. 由=1知a，b同号. 于是，所求圆的方程是（x1） 2+（y1） 2=2，或（x+1） 2+（y+1） 2=2. 【模拟试题】（答题时间：40分钟）1. 求下列各圆的标准方程：（1）圆心在上且过两点（2，0），（0，4）；（2）圆心在直线上，且与直线切于点M（2，1）.（3）圆心在直线上，且与坐标轴相切2. 已知圆求：（1）过点A（4，3）的切线方程.（2）过点B（5，2）的切线方程3. 下列方程各表示什么图形？（1）； （2）；（3）4. 求下列各圆的半径和圆的坐标：（1） （2） （3）5. 若实数x、y满足等式 ，那么的最大值为（ ）A. B. C. D. 6. 经过圆上任一点P作x轴的垂线，垂足为Q，求线段PQ中点轨迹的普通方程7. 已知点M是圆上的一个动点，点N（2，6）为定点，当点M在圆上运动时，求线段MN的中点P的轨迹方程，并说明轨迹的图形8. 已知一圆C的圆心为（2，1），且该圆被直线：xy1=0 截得的弦长为2，求该圆的方程及过弦的两端点的切线方程9. 已知直线：mxy=0 ，：x+mym2=0（1）求证：对mR，与 的交点P在一个定圆上；（2）若与定圆的另一个交点为，与定圆的另一交点为，求当m在实数范围内取值时，面积的最大值及对应的m【试题答案】1. 分析：从圆的标准方程可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定三个参数解：（1）设圆心坐标为（），则所求圆的方程为，圆心在上， 又圆过（2，0），（0，4） 由联立方程组，可得所求圆的方程为（2）圆与直线相切，并切于点M（2，1），则圆心必在过点M（2，1）且垂直于的直线：上， ，即圆心为C（1，2），=，所求圆的方程为：（3）设所求圆的方程为，圆与坐标轴相切， 又圆心（）在直线上，由，得所求圆的方程为：或2. 分析：求过一点的切线方程，当斜率存在时可设为点斜式，利用圆心到切线的距离等于圆的半径列出方程，求出斜率k的值，斜率不存在时，结合图形验证；当然若过圆上一点的切线方程，可利用公式求得解：（1）点A（4，3）在圆上过点A的切线方程为：（2）点B（5，2）不在圆上，当过点B（5，2）的切线的斜率存在时，设所求切线方程为，即由，得此时切线方程为：当过点B（5，2）的切线斜率不存在时，结合图形可知=5，也是切线方程综上所述，所求切线方程为：或=53. （1） 解：此方程表示一个点O（0，0）（2） 解：可化为： 此方程表示以点（1，2）为圆心，为半径的圆（3） 解：可化为：，此方程表示以（，0）为圆心，为半径的圆4. （1） 答案：即，圆心为（3，0），半径为3（2） 答案：即，圆心为（0，b），半径为b|（3） 答案：即，圆心为（， ），半径为5. 解：实数满足，（）是圆上的点，记为P，是直线OP的斜率，记为OP：，代入圆方程，消去，得直线OP与圆有公共点的充要条件是0，所以，选6. 解：设M（）为线段PQ的中点，圆的参数方程为 又点P为圆上任一点可设点P的坐标为（2cos，2sin）则Q点的坐标为（2cos，）由线段中点坐标公式，得点M轨迹的参数方程为：消去参数，可得： 即7. 分析：先将圆化为利用圆的参数方程求解解：将已知圆的方程化为：则其参数方程为故可设点M（2+2cos，2sin）又点N（2，6）.MN的中点P为点P的轨迹方程为： 它表示圆心在（2，3），半径为1的圆8. 分析：通过弦长与圆半径的关系可以求出圆的半径，得到圆的方程，其它问题易解解：设圆C的方程是（r0），则弦长P=2，其中d为圆心到直线xy1=0的距离，P=2=2，圆的方程为 由 ，解得弦的二端点坐标是（2，1）