高中数学 利用递推关系求数列通项的九种类型及解法素材 北师大版必修5

利用递推关系求数列通项的九种类型及解法1. 形如型（1）若为常数,即：,此时数列为等差数列，则=.（2）若为的函数时，用迭加法.方法如下： 由 得：时，所以各式相加得 ，即.为了书写方便，也可用横式来写：时，=.例 1. （2020天津文） 已知数列满足, 证明：证明：由已知得： = .评注：已知,，其中可以是关于的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项.若是关于的一次函数，迭加后可转化为等差数列求和;若是关于的二次函数，迭加后可分组求和;若是关于的指数函数，迭加后可转化为等比数列求和;若是关于的分式函数，迭加后可裂项求和。2.形如型（1）当为常数，即：（其中是不为0的常数），此时数列为等比数列，=.（2）当为的函数时,用迭乘法. 由得 时，=例2.设是首项为1的正项数列，且（），则它的通项公式=_ _.解：已知等式可化为：()(+1), 即时， =.评注：本题是关于和的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到与的更为明显的关系式，从而求出.3. 形如型（1）若（为常数），则数列为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;（2）若 为的函数（非常数）时，可通过构造转化为型，通过迭加来求出通项; 或用逐差法(两式相减)得，分奇偶项来分求通项.例3. 数列满足,求数列的通项公式.解法1： 时，两式相减得：.构成以,为首项，以2为公差的等差数列;构成以,为首项，以2为公差的等差数列，. 注意：结果要还原成的表达式.解法2：构造转化为型令则.时,各式相加:当为偶数时，此时当为奇数时，此时,所以.故 4.形如型（1）若(为常数)，则数列为“等积数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;（2）若为的函数（非常数）时，可通过逐差法得，两式相除后，分奇偶项来求通项.例4. 已知数列,求数列的通项公式.解：略5形如,其中)型（1）若时，数列为等差数列;（2）若时，数列为等比数列;（3）若时，数列为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.方法如下：设,得,与题设比较系数得,所以，所以因此数列构成以为首项，以为公比的等比数列，所以 ， 即.规律：将递推关系化为,构造成公比为的等比数列从而求得通项公式有时我们从递推关系中把换成有,两式相减有从而化为公比为的等比数列,进而求得通项公式. ,再利用类型(1)即可求得通项公式.我们看到此方法比较复杂.例5已知数列中，求通项.方法一：由得,所以数列构成以为首项，以为公比的等比数列所以, 即. 方法二：由 时，两式相减得 ,数列是以=为首项，以为公比的等比数列. =( .方法三：由递推式直接迭代得=.6.形如型 (1)若(其中，是常数，且)方法：相减法例6.在数列中，求通项.解： 时，两式相减得 .令,则利用类型5的方法知即 再由迭加法可得.亦可联立 解出. (2)若(其中是常数，且0,1)若时，即，迭加即可.若时，即，求通项方法有以下三种方向：i. 两边同除以. 即,令，则,然后类型1，迭加求通项.ii.两边同除以. 即,令,则可化为.然后转化为类型5来解，iii.待定系数法：设.通过比较系数，求出，转化为等比数列求通项.例7.（2020天津理）设为常数，且证明对任意，；证法1：两边同除以,得，令,则.证法2：由得 .设，则b. 即,所以是以为首项，为公比的等比数列.则=,即：,故 .评注：本题的关键是两边同除以，进而转化为类型5，构造出新的等比数列，从而将求一般数列的通项问题转化为求等比数列的通项问题.证法3：用待定系数法设, 即:,比较系数得：,所以 所以,所以数列是公比为2，首项为的等比数列. 即 .7.形如型（1）即 取倒数法.例8. 已知数列中，求通项公式。 解：取倒数： 例9.（湖北卷）已知不等式为大于2的整数，表示不超过的最大整数. 设数列的各项为正，且满足证明：分析：本题看似是不等式问题，实质就是求通项问题.证：当即 于是有 所有不等式两边相加可得 由已知不等式知，当时有，评注：本题结合不等式的性质，从两边取倒数入手，再通过裂项求和即可证得.（2）形如型方法：不动点法:我们设,由方程求得二根,由有同理,两式相除有,从而得,再解出即可.例10. 设数列满足,求的通项公式.分析：此类问题常用参数法化为等比数列来求解.方法1：对等式两端同时加参数得：,令, 解之得或 代入得,相除得,即是首项为，公比为的等比数列, =, 解得.方法2： ，两边取倒数得，令，则,转化为类型5来求. 8. 形如(其中为常数)型（1）当时用转化法例11.数列中，若,且满足,求.解：把变形为.则数列是以为首项，3为公比的等比数列， 利用类型6的方法可得：.（2）当时，用待定系数法.例12. 已知数列满足，且,且满足,求.解：令,即,与已知比较，则有,故或下面我们取其中一组来运算，即有,则数列是以为首项，3为公比的等比数列，故,即,利用类型5 的方法，可得. 评注：形如的递推数列,我们通常采用两次类型(5)的方法来求解,但这种方法比较复杂,我们采用特征根的方法:设方程的二根为,设,再利用的值求得的值即可.9. 形如(其中为常数)型（1），时用对数法.例13.设正项数列满足，（2）.求数列的通项公式.