第三章_移动机器人运动学

第三章移动机器人运动学(MobileRobotKinematics),3.1引言运动学是对机械系统如何运行的最基本研究。,3.2运动学模型和约束为整个机器人运动推导一个模型，是一个由底向上的过程。我们必须用相对清晰和一致的参考框架来表达各轮的力和约束，由于移动机器人的独立和移动本质，需要在全局和局部参考框架之间有一个清楚的映射。,3.2.1机器人位置的表示在整个分析过程中，我们将机器人建模成轮子上的一个刚体，运行在水平面上。为了确定机器人在平面中的位置，我们建立了平面全局参考框架和机器人局部参考框架之间的关系如图所示,全局参考框架和局部参考框架,(XI,YI)为全局参考框架(XR,YR)为机器人的局部参考框架，相对于机器人底盘上的P点在全局参考框架下，P点的位置由坐标x和y确定，全局框架和局部框架的角度差由表示。机器人的姿态可由这三个元素组成的向量来描述，即在全局参考框架下该姿态的基为：,为了根据分量的移动描述机器人的移动，需要将全局参考架下的运动映射到局部参考框架下的运动。该映射可由正交旋转矩阵来完成。,其中：,举例：,与全局参考框架并排的机器人,给定在全局参考框架下某个速度，我们可以计算沿机器人局部参考框架轴XR和YR的运动分量。,3.2.2前向运动学模型给定机器人的几何特征和它的轮子速度，机器人如何运动？即前向运动学模型。该差动机器人有2个轮子，半径为r，给定中心处为两轮之间的点P，各轮距P的距离为l。给定r,l,和各轮的转速，前向运动学模型会预测全局参考框架中机器人的总速度：,在全局参考框架中差动驱动的机器人,建模策略：首先计算在局部参考框架下各轮对机器人运动的贡献，然后再将其影射到全局参考框架下。首先，考虑在+XR方向上各轮的转动速度对点P的平移速度的贡献。计算如果一轮旋转，而另一轮无贡献且不动，则点P的平移速度为,（1）,其次，计算在YR方向的贡献由于没有一个轮子可以提供侧向运动，所以沿YR方向的速度总是零。最后，计算旋转角速度分量。可独立的计算各轮的贡献，且只要简单相加即可。,（2）,联合式（1）和式（2）得到差动驱动机器人的运动学模型如式（3）所示：,（3）,其中：,举例：,假定机器人位于/2，r1，l1，各轮转速分别为4和2，则机器人在全局参考框架中的速度为：,在全局参考框架下，机器人沿着y轴，以速度1旋转的同时以速度3瞬时的移动。另外，机器人沿x轴的速度为零。给定各轮的速度，用运动学建模（各轮对运动的贡献）的方法，可提供有关机器人移动的信息。然而，我们希望，对于所有机器人的地盘结构，要确定机器人可能运动的空间。所以需要进一步描述各轮加到机器人运动上的约束。,3.2.3轮子运动学约束两点假设：轮子的平面总是和地面保持垂直，并且在任何时候，轮子和地面之间只有一个单独的接触点。该接触点无滑动，即只存在纯滚动。两个约束：轮子平面的滚动约束。垂直于轮子平面的滑动约束。,固定标准轮和它的参数,固定标准轮A的位置用机器人局部参考框架下的极坐标（l，）来表示。轮子平面相对于底盘的角度用表示，该角度为固定值。具有半径r的轮子在轮子平面内可自由转动。,固定标准轮的运动学约束,固定标准轮约束示意图,固定标准轮的滚动和滑动约束方程：,（1）,（2）,由于所有在方程中的其他参数、等均是依据机器人的局部参考框架，所以必须将全局参考框架下的运动变换到机器人局部参考框架内的运动。,举例：,假定轮A处在一个位置使得90，0，如果0，那么滑动约束方程（2）可简化为：,这里限定沿YI的运动分量为零，由于YR和YI在本例中平形，所以轮子不会侧向滑动。如果不是特殊情况，则会形成全局参考框架下的轨迹（速度）约束方程。,可操纵标准轮的运动学约束,可操纵标准轮和它的参数,可操纵的标准轮的滚动和滑动约束方程如下：,式中(t)。,小脚轮运动学约束,小脚轮和它的参数,小脚轮的滚动和滑动约束方程：,上式表明：任何正交于轮子平面的运动必须被一个等效的且相反的小脚轮操纵运动量所平衡，这对小脚轮的成功是至关重要的，因为通过设置操纵量，任意的横向运动是可以被接受的（即使得约束被满足）。所以只带有小脚轮的机器人可按任意的速度在可能的机器人运动空间中运动，我们称此系统为全向的。,瑞典轮运动学约束,瑞典轮和它的参数,瑞典轮的滚动和滑动约束方程为：,90度瑞典轮时，滚动方程简化为固定标准轮的滚动约束。但由于滚柱，正交于轮子平面没有滑动约束。改变主动轮的转速可以产生任何期望的运动向量以满足滚动约束方程，所以轮子是全向的。0度瑞典轮时，滚柱有一个平行于主轮旋转轴的转动轴。若将该值代入滚动约束方程，则得到的却是固定标准轮的滑动约束方程，即瑞典轮的滚动约束消失（主轮不需要旋转）。,小结：对于小脚轮、瑞典轮和球形轮，由于其内部的自由度，并未对机器人的运动施加实质上的约束，即机器人可在全局参考框架下自由运动。也就是说，只有固定标准轮和可操纵标准轮会对机器人的运动施加约束。,3.2.4机器人运动学约束给定一个具有M个轮子的机器人，假定机器人总共有N个标准轮，由Nf个固定标准轮和Ns个可操纵标准轮组成。s(t)表示可操纵标准轮的可变操纵角。f表示固定标准轮的方向。,滚动约束：,滑动约束：,上述表达式对单个轮子的滚动和滑动约束具有强的相似性，但矩阵代替了单个值，因此把全部轮子的约束都考虑进去了，表示一个投影矩阵，它将机器人局部参考框架下的运动投影到沿着各个轮子平面上的运动。也表示一个投影矩阵，它将机器人局部参考框架下的运动投影到各个轮子的法平面内。,举例：,一个差动驱动机器人将滚动约束和滑动约束方程联合起来可得到式：,由于小脚轮无动力，并可在任何方向自由运动，因此可忽略第三个接触点。其余两个轮不可操纵，因此和分别简化为和首先辨识各轮和的值。右轮/2，；左轮/2，0。由于，两个标准轮是平行的，所以，只有一个独立的滑动约束方程总的运动约束方程如式：,将上式求逆，得到特定的差动驱动机器人的运动学方程：,注：对于简单的差动驱动情况，上式展示了轮子滚动和滑动约束的联合描述了运动学的行为。另外，上式与图3.1所对应的运动学模型表示完全一致。,一个有3个90度瑞典轮的全向机器人，所有轮子均对称安装。机器人的局部参考框架和全局参考框架是一致的，即夹角为0。如果轮1，2，3分别以速度4，1，2旋转，那么整个机器人的最终运动会是什么样呢？,3.3移动机器人的机动性机器人可操纵的总自由度，包括通过改变轮子的速度，机器人直接操纵的自由度（活动性）和通过改变操纵的配置和运动，间接操纵的自由度（可操纵度）两个方面。,3.3.2活动性的程度活动性表示机器人在环境中直接运动的能力。限制活动性的基本约束就是加在轮子上的滑动约束。滑动约束如前所示为：,在数学上，的零空间是空间N，使得对任何N中的向量n，。为了满足约束，运动向量必须属于投影矩阵的零空间。若遵守运动学约束，则机器人的运动必定总是在该空间N内。在几何上，利用机器人的瞬时转动中心，可以同时说明运动学的约束。,瞬时转动中心ICR（instantaneouscenterofrotation）在任何给定时刻，轮子必定沿着半径为R的某个圆瞬时的运动，使得那个圆的中心处在零运动直线上，该中心称为瞬时转动中心。它可以位于沿零运动直线的任何地方。,要使机器人运动存在一个单独的解，必须有一个单独的ICR，即所有的零运动直线在一个单独点相交。ICR的几何特性显示了机器人的活动性是机器人运动上的独立约束数目的函数而不是轮子数目的函数。独立的滑动约束的数目可用的秩来描述,一般地，对于一个安装有零个或多个标准轮的机器人：秩等于零：在这种情况下，机器人未安装标准轮秩等于3：机器人在任何方向是完全受约束的，它将不可能在平面中运动。,活动性程度：矩阵零空间的维数（dimN）是通过改变轮子的速度，可以立即操纵机器人底盘的自由度数目的一个度量。,对于一个差动驱动的机器人底盘：简单的通过操纵轮子的速度，即可控制方向的变化率又可控制向前/向后的速度。ICR被限制在位于从它的轮子水平轴扩展的无限直线上。问题：自行车的底盘、由全向轮组成的机器人底盘？,3.3.2可操纵度对于可操纵的标准轮，通过改变操纵角，可间接改变机器人的姿态。可操纵度即表示独立的可操纵的参数的数目。,可操纵度的取值范围：,为零，说明机器人没有可操纵的标准轮；为2，说明机器人（伪自行车）。没有固定标准轮，说明机器人可以把ICR放到地平面上任何地方。,考虑一辆普通汽车，如图所示，Nf2和Ns2。由于两个固定标准轮共享一个公共轴，所以。固定标准轮和任何一个可操纵轮限制ICR成为沿着从后轴延伸的直线的一个点，所以第二个可操纵轮不再施加独立的运动学约束，故，在此情况下，活动性程度为1，可操纵度为1。,3.3.3机器人的机动性机器人可以操纵的总的自由度，称为机动程度。定义为：包括直接操纵的自由度和间接操纵的自由度。,3.4移动机器人工作空间对于一个机器人来说，机动性等效于它的控制自由度。工作空间自由度DOF（degreeoffreedom）往往大于控制自由度。例如，普通四轮汽车。3.4.1自由度DDOF（differentialdegreeoffreedom）：可微的自由度、独立可达到的速度的数目、速度空间的维数。通常等于活动性程度。DOF表示支配机器人获得不同姿态的能力，DDOF表示支配机器人获得不同路径的能力。,3.4.2完整、非完整完整和非完整的一种说法：一个完整机器人是没有非完整运动学约束的机器人；一个非完整机器人是具有一个或多个非完整运动学约束的机器人。完整的运动学约束：该约束方程只是位置变量的显函数,即只限制受控对象的空间位置（伪自行车，即前轮锁定）非完整运动学约束：该约束方程需要微分关系（如位置变量的微分）来表达，并且该微分关系是不可积的，即是不可积的速度约束。非完整系统常常称为非可积系统。固定标准轮的滑动约束（普通自行车）。运动稳定性较好。完整和非完整的另一种说法：一个机器人是完整的，当且仅当微分自由度等于工作空间自由度。,完整约束和非完整约束的区别：当系统受完整约束时，系统的运动受到了限制，只能在位形空间中的某一光滑流形上运动，系统的可达集是位形空间的一个子空间，并且当系统受到k个完整约束时，系统位形被限制在(n-k)维流形上，通过适当的坐标变换，系统就可以用(n-k)个广义坐标完全描述（伪自行车）。但是当系统受非完整约束时，由于其不可积性，所以无法约束系统的运动位形，而只是将系统的瞬时速度限制在(n-k)维子空间上，也就是说非完整约束使系统的运动自由度减少，但是描述系统的独立广义坐标的自由度并没有减少（四轮汽车和双轮差速机器人）。,3.4.3路径和轨迹(PathandTrajectory)由操纵所授予的自由度与由轮子速度直接控制所授予的自由度的差别：表现在轨迹背景上，而不是路径背景上。（全向机器人和双操纵机器人：机动性均为3）轨迹跟踪TT(trajectorytracking)路径跟踪PF(pathfollowing),3.5运动控制（motioncontrol）运动控制即运动学控制，目标是通过寻求某种控制输入作用，使机器人精确快速平稳地自动到达运动空间的某一位置或跟踪空间中的某条曲线。因此，在历史上就形成了点镇定、路径跟随和轨迹跟踪三种移动机器人运动控制的基本问题。3.5.1点镇定点镇定也称为位姿镇定、姿态跟踪、或设定点调节，简称镇定控制，如下图所示，是指根据某种控制理论，为非完整移动机器人系统设计一个控制输入作用即控制律，使非完整移动机器人能够到达运动平面上的任意给定的某个目标点，并且能够稳定在该目标点。,上面各种名称中的点、位姿、姿态、设定点都是指给定的目标点，统称为期望位姿q=xy，其数值可预先给定或根据轨迹规划器生成。,这里提到点镇定就要说一下Brockett光滑镇定条件，由于非完整系统受到非完整约束，所以不能应用反馈线性化或光滑定常反馈的控制器设计方法渐近镇定系统，只能寻求不连续控制律、时变控制律或混合控制律在移动机器人中的应用。,如右图所示，是指根据某种控制理论，为非完整移动机器人系统设计一个控制输入作用即控制律，使非完整移动机器人能够到达并最终以给定的速度跟踪运动平面上给定的某条轨迹。,3.5.2路径跟随,在惯性坐标系里，机器人必须从一个给定的初始状态出发，到达和跟随一条理想的几何路径，机器人的初始点可以在这条路径上，也可以不在该路径上。在路径跟随问题中，给定的某条路径也称为期望路径，是指一条几何曲线f(x,y,)，这条路径通常是由某个或某些参数的表达式来描述的，而用来描述理想路径的参数和时间是无关的，因为控制者关心的只是机器人相对于给定路径的位置。,在移动机器人的路径跟随问题上，一般选取两个输入量中的前进量为任意的常量或时变量，而另一个输入量用作控制量。因此路径跟随问题可以转换成关于路径跟随误差的一个标量函数的零点稳定问题，控制的目标是使机器人和给定路径之间的距离为零。给定的速度是指给定的线速度v和角速度，也称期望速度即参考控制输入，用u=v,T来表示，从物理上看v和的取值变化受f(x,y,)的具体形式的限制，同样不能包含时间参数，而且要求v0,f(x,y,)和u可预先给定或者由路径生成器生成。,3.5.3轨迹跟踪,根据某种控制理论，为非完整移动机器人系统设计一个控制输入作用即控制律，使非完整移动机器人能够到达并最终以给定的速度跟踪运动平面上给定的某条轨迹。在惯性坐标系里，机器人必须从一个给定的初始状态出发，到达并跟随一条理想轨迹。机器人的初始点可以在这条轨迹上，也可以不在该轨迹上。,轨迹跟踪问题与路径跟随问题的最大区别在于：要跟踪的理想轨迹是一条与时间呈一定关系的几何曲线。这里，给定的某条轨迹称为期望