浙江省2020年高考数学4月学考科目考试试题（含解析）

浙江省2020年高考数学4月学考科目考试试题（含解析）一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选，多选，错选均不给分.）1.函数定义域为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据对数真数必须大于零，求解得到定义域.【详解】由题意得： 即定义域：本题正确选项：【点睛】本题考查对数型函数的定义域求解，属于基础题.2.直线的斜率为A. 2B. -2C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据的斜率为，得到结果.【详解】由可知斜率本题正确选项：【点睛】本题考查直线斜率，属于基础知识.3.下列点中，在不等式表示的平面区域内的是A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】将点依次代入不等式中，使得不等式成立的即为在区域内的点.【详解】选项：，则不在区域内选项：，则不在区域内选项：，则不在区域内选项：，则在区域内本题正确选项：【点睛】本题考查点是否满足约束条件的问题，属于基础题.4.设为等差数列，若，则A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】B【解析】【分析】根据求出，进而求得.【详解】设等差数列公差为则 本题正确选项：【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，属于基础题.5.若为锐角，则=A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据为锐角，可知，求解得到结果.【详解】且为锐角本题正确选项：【点睛】本题考查同角三角函数求解，属于基础题.6.椭圆右焦点的坐标为A. （1，0）B. C. D. （2，0）【答案】A【解析】【分析】利用标准方程求得，从而得到焦点坐标.【详解】由题意：， 椭圆右焦点坐标为本题正确选项：【点睛】本题考查利用椭圆标准方程求解焦点坐标，属于基础题.7.已知函数，则A. 是偶函数，且在上是增函数B. 是偶函数，且在上是减函数C. 是奇函数，且在上是增函数D. 是奇函数，且在上是减函数【答案】D【解析】【分析】根据奇偶性定义判断出奇偶性，在结合幂函数单调性求得单调性.【详解】，则为奇函数又在上单调递增，则在上单调递减本题正确选项：【点睛】本题考查具体函数的奇偶性和单调性的判断，属于基础题.8.在四棱锥中，底面，且若M为线段的中点，则直线DM与平面所成的角为A. 30B. 45C. 60D. 90【答案】B【解析】【分析】取中点，连接，可知即为所求角，根据长度关系即可求得结果.【详解】取中点，连接为中点，为中点 又底面 底面即为直线与平面所成角又，可知，且本题正确选项：【点睛】本题考查直线与平面所成角的求解，属于基础题.9.若向量与垂直，则实数的值为A. 2B. -2C. 8D. -8【答案】B【解析】【分析】利用向量数量积等于零构造方程，求解得到结果.【详解】 即，解得：本题正确选项：【点睛】本题考查向量数量积，关键是明确向量互相垂直等价于向量数量积等于零.10.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c若，则b的值为A. B. C. D. 2【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理列方程求出结果.【详解】由正弦定理可得：解得：本题正确选项：【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，属于基础题.11.已知是空间两条直线，是一个平面，则“”是“mn”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】分别讨论充分性和必要性，即可选出答案。【详解】充分性：由直线和平面垂直的性质定理，可知“若，则”能够推出，故充分性成立；必要性：当时，若，显然成立。故若，则“”是“”的充要条件，故选C.【点睛】本题考查了直线和平面垂直的性质定理，及平行线的性质，属于基础题。12.若双曲线的渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率为A. B. 1C. D. 2【答案】C【解析】【分析】渐近线互相垂直说明为等轴双曲线，可知离心率为.【详解】双曲线渐近线互相垂直可知为等轴双曲线，即：离心率本题正确选项：【点睛】本题考查等轴双曲线的离心率，关键是通过渐近线互相垂直判断出双曲线的性质.13.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】通过三视图可知几何体为一个圆锥和一个半球构成的组合体，分别求解两个部分体积，加和即可得到结果.【详解】由三视图可知几何体为一个圆锥和一个半球的组合体圆锥体积：一个半球体积：几何体体积：本题正确选项：【点睛】本题考查空间几何体体积的求解，关键是能够通过三视图准确还原几何体.14.已知函数若则x的值为A. 2或-2B. 2或3C. 3D. 5【答案】C【解析】【分析】分别在两段解析式上讨论的解，符合范围要求的即为结果.【详解】若，解得：（舍）若，解得：本题正确选项：【点睛】本题考查利用分段函数的函数值求解自变量，属于基础题.15.设为等比数列，给出四个数列：；;；，其中一定为等比数列的是A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据等比数列定义依次判断各个选项，从而得到结果.【详解】设的公比为，则，可知为等比数列；，可知为等比数列；，未必固定常数，可知未必是等比数列；未必是固定常数，可知未必是等比数列.本题正确选项：【点睛】本题考查等比数列的判定，关键是看数列是否满足等比数列的定义式的形式.16.函数=的图象如图所示，则A. 且B. 且C. 且D. 且【答案】C【解析】【分析】通过时，可确定；再利用函数取最小值时，可确定.【详解】当时，若，则 ，不合题意若，则，不合题意，此时设，则可知当即时取最小值由图象可知此时 ，即综上所述：且本题正确选项：【点睛】本题考查利用函数图像判断函数解析式中参数的大致范围，关键是能够通过特殊位置的取值确定参数范围.17.已知a，b，c，d是四个互不相等的正实数，满足，且，则下列选项正确的是A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析】通过取特殊值，依次排除选项，得到结果.【详解】选项：取，则，可知错误；选项：取，则，可知错误；选项：取，则，又，可知错误；选项：设，则则要证，只需证即证：，又，只需即可即证：又，则只需即可即 综上所述：，可知正确.本题正确选项：【点睛】本题考查不等式相关问题，通过取特殊值排除的方法是较简单的方法.证明的难点在于能够将利用平方差公式进行分子有理化，将问题进行转化.18.已知正方体，空间一动点P满足，且，则点P的轨迹为A. 直线B. 圆C. 椭圆D. 抛物线【答案】B【解析】【分析】通过得到点在平面上；再利用且为的中垂线，可解得为定值，由此可得在球面上；通过平面与球面相交得到轨迹为圆.【详解】由及平面可知：点在平面上设正方体棱长为，则，又平面，可知 即取连接交于点，则为中点，连接平面，平面 又为中点，所以为中垂线，令则 由此可得：点在以为球心，长为半径的球面上 点轨迹即为平面与球面的交线上可知轨迹为圆.本题正确选项：【点睛】本题考查空间中动点的轨迹问题，关键在于能够确定动点分别满足球面的特点且在平面上，由此可确定轨迹为平面截球面所形成的的交线，进而得到轨迹为圆的结论.二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分.）19.已知集合，集合，则=_；=_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】根据交集和并集概念直接得到结果.【详解】由，可得：，【点睛】本题考查集合的交集和并集运算，属于基础题.20.已知实数x，y满足，则xy的最大值为_【答案】【解析】【分析】通过基本不等式得到，从而求得结果.【详解】（当且仅当时取等号）最大值为【点睛】本题考查基本不等式的运算，属于基础题.21.已知A，B为圆C上两点，若，则的值为_【答案】2【解析】【分析】利用半径表示出，利用数量积运算公式求解得到结果.【详解】设与夹角为，圆半径为则本题正确结果：【点睛】本题考查向量数量积运算，关键是能够利用长度关系表示出夹角的余弦值.22.正项数列的前项和满足.若对于任意的，都有成立，则整数的最大值为_.【答案】1【解析】【分析】根据可求得，进而得到的通项公式；根据通项公式可证得数列为递减数列，可求得，由此得到的最大值为.【详解】当时，解得，当且时由得：，即整理得： ，即因为满足，则 即，即数列为递减数列又则整数的最大值为【点睛】本题考查数列综合应用问题，关键是能够利用求得的通项公式，进一步证明得到数列为递减数列，从而通过极限求得结果；难点是对于数列是递减数列的证明上，对计算能力要求较高.三、解答题（本大题共3小题，共31分.）23.已知函数 .（）求的值；（）求的最小正周期；（）若为偶函数，求的值.【答案】（）（） （）【解析】【分析】（）代入可求解；（）将化简整理为，可得最小正周期为；（）根据偶函数定义可得：，化简可得，由于对都成立，所以，从而求得.【详解】（）（）所以的最小正周期为（）因为为偶函数所以，对任意，都有即即由于对上式都成立，所以因为，所以【点睛】本题考查正弦型函数的函数值、最小正周期、奇偶性求参数值的问题，关键是能够将函数化简为的形式，从而使问题得到解决.24.如图，不垂直于坐标轴的直线与抛物线有且只有一个公共点.（）当的坐标为（2，2）时，求的值及直线的方程；（）若直线与圆相切于点N，求的最小值.【答案】（）；（）【解析】【分析】（）根据求出抛物线方程；利用直线与抛物线相切，联立求出直线方程；（）假设直线方程与抛物线联立可得，又与圆相切，可得，从而可得到；利用和表示出点坐标后，利用构造出基本不等式的形式，求解得到最值.【详解】（）点在抛物线上，故有所以，从而抛物线方程为设直线的方程为，代入得由与抛物线相切可知，解得所以，直线的方程为，即（）设直线的方程为，代入得由直线与抛物线相切可知，所以又因为直线与圆相切，所以即将式代入式，得，所以设的坐标为，由与可知：从而所以，因此，当时，有最小值，最小值为【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系求解方程和最值的问题.在求解最值问题时，关键是能够将所求长度转变成与有关的函数关系式的形式，从而通过函数求最值的方法求得结果.25.如果一个函数的值域与其定义域相同，则称该函数为“同域函数”.已知函数的定义域为.（）若，求的定义域；（）当时，若为“同域函数”，求实数b的值；（）若存在实数且，使得为“同域函数”，求实数b的取值范围.【答案】（）的定义域为（）（）【解析】【分析】（）根据解析式得，解方程组求得定义域；（）由题意可知值域需为，根据对称轴位置不同来讨论，可知当时，只需，从而求得取值；（）根据“同域函数”定义，根据的不同范围分别求解函数的定义域和值域，利用二者相同得到与的关系式，从而求得结果.【详解】（）当，时，由题意，知得所以的定义域为（）当时，（）当，即时，的定义域为，值域为所以，时，不是“同域函数”（）当，即时，当且仅当时，为“同域函数”，所以综上所述