高中数学 第十章第一节圆锥曲线与方程练习 北师大版选修2－1

高中数学 第十章第一节圆锥曲线与方程练习 北师大版选修21 (本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)一、选择题(每小题6分，共36分)1已知ABC的顶点B、C在椭圆y21上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则ABC的周长是()A2 B6C4 D12【解析】设椭圆的另一焦点为F，则由椭圆的定义知|BA|BF|2，且|CF|AC|2，所以ABC的周长|BA|BF|CF|AC|4.【答案】C2已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于()A. B.C. D.【解析】设长轴长、短轴长分别为2a、2b，则2a4b，e.【答案】D3已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，它的长轴长等于圆x2y22x150的半径，则椭圆的标准方程是()A.1 B.1C.y21 D.1【解析】由题意得圆(x1)2y216的半径是4，因此椭圆的长半轴长是2，半焦距是1，短半轴长是，又椭圆的焦点在x轴上，所以所求的椭圆的标准方程是1.【答案】A4已知椭圆y21的焦点为F1、F2，点M在该椭圆上，且0，则点M到y轴的距离为()A. B.C. D.【解析】F1(，0)，F2(，0)，设M(x0，y0)，由0可得x0.【答案】B5已知F1，F2分别为椭圆C：1(ab0)的左右焦点，过F1且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，若ABF2为钝角三角形，则椭圆C的离心率e的取值范围为()A(0，1) B(0，1)C(1,1) D(1,1)【解析】由ABF2为钝角三角形，得AF1F1F2，2c，化得c22aca20，e22e10，又0e1，解得0e1.【答案】A6(2020年济南市模拟考试(二)设F1，F2分别是椭圆1(ab0)的左、右焦点，若直线x(c)上存在点P使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是()A. B.C. D.【解析】根据题目条件可知：若直线x(c)上存在点P使线段PF1的中垂线过点F2，则|F1F2|PF2|，可转化为点F2到直线x的距离小于或等于|F1F2|，亦即c2c，解得，所以e.【答案】B二、填空题(每小题6分，共18分)7(2020年广东卷)已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为_【解析】设椭圆的长半轴为a，由2a12知a6，又e，故c3，b2a2c236279.椭圆标准方程为1.【答案】18(2020年北京卷)椭圆1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上若|PF1|4，则|PF2|_，F1PF2的大小为_【解析】|PF1|+|PF2|=2a=6，|PF2|=6-|PF1|=2.在F1PF2中，cosF1PF2=-，F1PF2=120.【答案】2；1209我们把由半椭圆1(x0)与半椭圆1(x0)合成的曲线称作“果圆”(其中a2b2c2，abc0)如图，设点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1，A2和B1，B2是“果圆”与x轴，y轴的交点，若F0F1F2是边长为1的等边三角形，则a，b的值分别为_【解析】由已知|F1F2|21又因为F0F1F2是边长为1的等边三角形，所以cos 30，c，代入式得b1，a.【答案】，1三、解答题(共46分)10(15分)求满足下列各条件的椭圆的标准方程：(1)在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为6；(2)与椭圆1有相同的离心率且经过点(2，)【解析】(1)如图所示，A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|=c，|A1A2|=2b，c=b=3，a2=b2+c2=18.故所求的椭圆的方程为+=1.(2)由题意，当椭圆焦点在x轴上时，设所求椭圆的方程为+=t(t0)因为椭圆过点(2，-)，所以t=+=2，故所求椭圆标准方程为+=1.当椭圆焦点在y轴上时，设所求椭圆方程为+=t(t0)因为椭圆过点(2，)，t.故所求椭圆方程为1综上可知所求椭圆方程为1或1.11(15分)已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，F1PF260.(1)求椭圆离心率的范围；(2)求证：F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关【解析】(1)设椭圆方程为1(ab0)，|PF1|m，|PF2|n.在PF1F2中，由余弦定理可知，4c2m2n22mncos 60.mn2a，m2n2(mn)22mn4a22mn，4c24a23mn，即3mn4a24c2.又mn2a2(当且仅当mn时取等号)，4a24c23a2，即e.e的取值范围是.(2)证明：由(1)知mnb2，SPF1F2mnsin 60b2，即PF1F2的面积只与短轴长有关12(16分)已知(0，)是中心在原点，长轴在x轴上的椭圆的一个顶点，离心率为.(1)求椭圆方程；(2)直线yxm与椭圆相交于A、B两点，椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，求以F1F2和AB为对角线的四边形F1AF2B面积的最大值【解析】(1)设椭圆方程为1(ab0)由已知，b，e，e21.1.解得a220，椭圆方程为1.(2)由方程组消去y，得x22mx2m2100，