高中数学 第十章第五节圆锥曲线与方程练习 北师大版选修2－1

高中数学 第十章第五节圆锥曲线与方程练习 北师大版选修21 (本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)一、选择题(每小题6分，共36分)1AB为过椭圆1中心的弦，F(c,0)为它的焦点，则FAB的最大面积为()Ab2 BabCac Dbc【解析】设A、B两点的坐标为(x1，y1)、(x1，y1)，则SFAB|OF|2y1|c|y1|bc.【答案】D2(2020年全国卷)设双曲线1(a0，b0)的渐近线与拋物线yx21相切，则该双曲线的离心率等于()A. B2C. D.【解析】双曲线1的渐近线方程为yx，因为yx21与渐进线相切，故x21x0只有一个实根，40，4，5，e.【答案】C3在拋物线y24x上有点M，它到直线yx的距离为4，如果点M的坐标为(m，n)，且m、n为正数，则的值为()A. B1C. D2【解析】由题意知，4，|mn|8，4mn2，且m、n为正数，m16，n8.2.【答案】D4若直线mxny4和O：x2y24没有交点，则过点(m, n)的直线与椭圆1的交点个数为()A至多一个B2个C1个 D0个【解析】由直线mxny4和O：x2y24没有交点得2，m2n24，点(m，n)表示的区域在椭圆1的内部，则过点(m，n)的直线与椭圆1的交点个数为2个，故选B.【答案】B5如图过拋物线y22px(p0)的焦点F的直线依次交拋物线及准线于点A，B，C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，则拋物线的方程为()Ay2x By29xCy2x Dy23x【解析】如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|=a，则由已知得：|BC|=2a，由定义得：|BD|=a，故BCD=30，在直角三角形ACE中，|AE|=3，|AC|=3+3a，故有2|AE|=|AC|3+3a=6，从而得a=1，再由BDFG，则有=p=，因此拋物线方程为y2=3x.【答案】D6(4,2)是直线l被椭圆1截得的线段的中点，则l的方程是()Ax2y0 Bx2y40C2x3y40 Dx2y80【解析】设线段两端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有1，1，得(x1x2)(x1x2)(y1y2)(x1y2)0.又(4,2)是AB的中点，4，2.即x1x28，y1y24.代入式，得8(x1x2)4(y1y2)0，整理得k，则l的方程为：y2(x4)x2y80.【答案】D二、填空题(每小题6分，共18分)7已知F1、F2为椭圆1的两焦点，A、B为过F1的直线与椭圆的两个交点，则AF1F2的周长为_；ABF2的周长为_【解析】由1得a5，b3，则c4.AF1F2的周长为|AF1|AF2|F1F2|2a2c18，ABF2的周长为4a20.【答案】18208如果直线ykx1与双曲线x2y21没有公共点，则k的取值范围是_【解析】联立得(1k2)x22kx20(2k)28(1k2)0k或k.【答案】(，)(，)9(2020年全国卷)已知F是抛物线C：y24x的焦点，A、B是C上的两个点，线段AB的中点为M(2,2)，则ABF的面积等于_【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(y1y2)(y1y2)4(x1x2)1.线段AB所在直线为y2x2，即yx.x24x0x0，x4.A(0,0)，B(4,4)|AB|4.F(1,0)，F到线段AB的距离d.SABF|AB|d2.【答案】2三、解答题(共46分)10(15分)已知椭圆的焦点为F1(4,0)、F2(4,0)过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F1B|F2B|10，椭圆上不同的两点A(x1，y1)、C(x2，y2)满足条件：|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列(1)求该椭圆的方程；(2)求弦AC中点的横坐标；【解析】(1)由椭圆的定义及题中条件知：2a|F1B|F2B|10，得a5，又c4，所以b3，故所求的椭圆方程为1.(2)由点B(4，yB)在椭圆上，得|F2B|yB|，因为椭圆的离心率为，根据椭圆的焦半径公式，有|F2A|5x1，|F2C|5x2，由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列，得5x15x22，由此得x1x28.设弦AC的中点为P(x0，y0)，则x04.11(15分)(2020年北京卷)已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，且.(1)求双曲线C的方程；(2)已知直线xym0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2y25上，求m的值【解析】(1)由题意得解得所以b2c2a22.所以双曲线C的方程为x21.(2)设A、B两点的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)由，得x22mxm220(判别式0)所以x0m，y0x0m2m.因为点M(x0，y0)在圆x2y25上，所以m2(2m)25，故m1.12(16分)(2020年山东卷)设椭圆E：1(a，b0)过M(2，)，N(，1)两点，O为坐标原点(1)求椭圆E的方程；(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且？若存在，求出该圆的方程【解析】(1)将M，N的坐标代入椭圆E的方程得解得所以椭圆E的方程为1.(2)假设满足题意的圆存在，其方程为x2y2R2，其中0R2.设该圆的任意一条切线AB和椭圆E交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，当直线AB的斜率存在时，令直线AB的方程为ykxm，将其代入椭圆E的方程并整理得(2k21)x24kmx2m280.由韦达定理得x1x2，x1x2.因为，所以x1x2y1y20.将代入并