高中数学 考前归纳总结 立体几何中的二面角问题

立体几何中的二面角问题一、常见基本题型： (1)求二面角的大小例1、已知斜三棱柱的底面是正三角形，侧面是菱形，且 ，M是的中点， （1）求证：平面ABC； （2）求二面角的余弦值。 解：（1）侧面是菱形且 为正三角形 又点为的中点 由已知 平面 （2）如图建立空间直角坐标系 设菱形边长为2 得， ， 则， ，设面的法向量，由,得，令，得 设面的法向量， 由，得,令，得 得. 又二面角为锐角，所以所求二面角的余弦值为。 （2）已知二面角的大小，求其它量。 例1、如图，在四棱锥P-ABCD中，PC底面ABCD，ABCD是直角梯形，ABAD， ABCD，AB= 2AD =2CD =2E是PB的中点 （I）求证：平面EAC平面PBC; （II）若二面角P-A C-E的余弦值为，求直线PA 与平面EAC所成角的正弦值 解：（）PC平面ABCD，AC平面ABCD， ACPC，AB2，ADCD2，ACBC，AC2BC2AB2，ACBC，又BCPCC，AC平面PBC， AC平面EAC，平面EAC平面PBC（）如图，以C为原点，、分别为x轴、y轴、z轴正向，建立空间直角坐标系，则C(0，0，0)，A(1，1，0)，B(1，1，0)DACEPBxyz设P(0，0，a)（a0）， 则E(，）， (1，1，0)，(0，0，a)，（，），取m(1，1，0)，则mm0，m为面PAC的法向量设n(x，y，z)为面EAC的法向量， 则nn0，即取xa，ya，z2，则n(a，a，2)，依题意，|cosm，n|，则a2 于是n(2，2，2)，(1，1，2)设直线PA与平面EAC所成角为，则sin|cos，n|， 即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为 （3）求二面角的取值范围AOBCD例3.如图，已知AOB，AOB，BAO，AB4，D为线段AB的中点若AOC是AOB绕直线AO旋转而成的记二面角BAOC的 大小为 （1）当平面COD平面AOB时，求的值； （2）当，时，求二面角CODB的 余弦值的取值范围 解：（1）如图，以O为原点，在平面OBC内垂直于OB 的yAOBCDxz直线为x轴，OB，OA所在的直线分别为y轴，z 轴建立空间直角坐标系Oxyz，则A (0，0，2)， B (0，2，0)， D (0，1，)，C (2sin，2cos，0) 设(x，y，z)为平面COD的一个法向量， 由得，取zsin，则(cos，sin，sin)因为平面AOB的一个法向量为(1，0，0)，由平面COD平面AOB得0，所以cos0，即 （2）设二面角CODB的大小为，由()得当时， cos0；当(，时，tan，cos= ， 故cos0 综上，二面角CODB的余弦值的取值范围为，0 二、针对性练习1. 如图，斜三棱柱的底面是直角三角形， ,点在底面内的射影恰好是的中点， 且. (1)求证:平面平面; (2)若二面角的余弦值为, 设,求的值. 解: (1)取中点，连接，则面， ， ， （2）以为轴,为轴,过点与面垂直方向为轴， 建立空间直角坐标系 设， 则 即 设面法向量； 面法向量 ， 2. 如图，四棱锥的侧面垂直于底面， ，在 棱上，是的中点，二面角为 （1）求的值； （2）求直线与平面所成角的正弦值解：（1）建立如图所示的坐标系，其中， ，。 设，则， 于是， 设 为面的法向量，则， ，取，