第二章-Petri网的基本概念及性质

第二部分Petri网的动态性质,提纲,网系统(以原型Petri网为模型)运行过程中的一些性质统称为动态性质(dynamicproperties)或行为性质(behavioralproperties)这些性质同Petri网所模拟的实际系统运行过程中的某些方面的性质有密切的联系,提纲,可达性有界性和安全性活性公平性持续性,可达性,可达性是Petri网的最基本的动态性质，其余各种性质都要通过可达性来定义定义2.1.设PN=(P,T;F,M)为一个Petri网。如果存在tT，使MtM，则称M为从M直接可达的如果存在变迁序列t1,t2,t3,tk和标识序列M1,M2,M3,Mk使得Mt1M1t2M2,Mk-1tkMk(2.1)则称Mk为从M可达的从M可达的一切标识的集合记为R(M)，约定MR(M)如果记变迁序列t1,t2,t3,tk为，则(2.1)式也可记为MMk,可达性,设初始标识M0表示系统的初始状态，R(M0)给出系统运行过程中可能出现的全部状态的集合。定义2.2.设PN=(P,T;F,M0)为一个Petri网,M0为初始标识。PN的可达标识集R(M0)定义为满足下面两条件的最小集合：（1）M0R(M0)；（2）若MR(M0)，且存在tT，使得MtM，则MR(M0),可达性,定理2.1.设PN=(P,T;F,M0)为一个Petri网，M0为初始标识。则：(1)对任意MR(M0)，都有R(M)R(M0)；(2)对任意M1,M2R(M0)，R(M1)=R(M2)当且仅当M1R(M2)且M2R(M1)。证：(1)由于MR(M0)，所以MR(M):MR(M0)，从而R(M)R(M0)。同理可证(2)。,可达性,定义2.3.设PN=(P,T;F,M0)为一个Petri网，MR(M0)。如果MR(M0)，都有MR(M)，则称M为PN的一个可返回标识或一个家态（homestate）。定义2.4.设PN=(P,T;F,M0)为一个Petri网。如果M0是一个家态，则称PN为可逆网系统（reversiblenetsystem），或称可回复系统。,网系统家态的存在是一个良好性质，在评测系统性能或在系统模拟过程中具有非常关键的作用。,可达性,推论2.1.设PN=(P,T;F,M0)为一个Petri网，M1,M2是PN的家态，则R(M1)=R(M2)。证明：因为M1,M2是PN的家态，所以首先有M1R(M0)，M2R(M0)，进而M1R(M2)，M2R(M1)。根据定理2.1(2)，则有R(M1)=R(M2)。,有界性和安全性,定义2.4.设PN=(P,T;F,M0)为一个Petri网,pP。若存在正整数B,使得MR(M0):M(p)B,则称库所p为有界的(bounded)。并称满足此条件的最小正整数B为库所p的界，记为B(p)。即B(p)=minB|MR(M0):M(p)B当B(p)=1时，称库所p为安全的（safe）。定义2.5.设PN=(P,T;F,M0)为一个Petri网。如果每个pP都是有界的，则称PN为有界Petri网。称B(PN)=maxB(p)|pP为PN的界。当B(PN)=1时，称PN为安全的。,有界性和安全性,Petri网的有界性（boundedness）反映被模拟系统运行过程中对有关资源的容量要求,库所p3无界其它库所的界为1,B(p1)=B(p2)=B(p3)=2其它库所界为1,有界性和安全性,定理2.2.设PN=(P,T;F,M0)为一个Petri网。R(M0)为有限集当且仅当PN是有界的。证：,活性,Petri网活性（Liveness）概念的提出源于对实际系统运行中是否会出现死锁的探索的需要。定义2.6.设PN=(P,T;F,M0)为一个Petri网，M0为初始标识，tT。如果对任意MR(M0)，都存在MR(M)，使得Mt，则称变迁t为活的。如果每个tT都是活的，则称PN为活的Petri网。,2,t1和t2是活的，t3是不活的,不活的,活的,活性,与实际系统中的无死锁概念更为接近的定义。定义2.7.设PN=(P,T;F,M0)为一个Petri网，如果对MR(M0)，使得tT：Mt，则称M为PN的一个死标识（deadmarking）。如果PN中不存在死标识，则称PN为弱活的（weaklive）或者不死的（non-dead）。定理2.3.设PN=(P,T;F,M0)为一个Petri网。若PN中有一个变迁是活的，则PN是弱活的。证：用反证法。假设PN不是弱活的，则必存在一个死标识MR(M0)，即tT：Mt。从而不存在MR(M)，使得Mt。即任一个变迁都不是活的，这同假设矛盾。,活性,PN是弱活的，但不是活的,活性,定义2.8.设PN=(P,T;F,M0)为一个Petri网，tT。若MR(M0)：Mt，则称变迁t为死的。,如果一个Petri网中没有死变迁，那么它是活的吗？是弱活的吗？,？,t3是死变迁,公平性,在Petri网中引入公平性（fairness）概念，旨在讨论网系统中两个变迁的发生之间的相互关系。这种关系反映被模拟系统的各个部分在资源竞争中的无饥饿性问题。定义2.9.设PN=(P,T;F,M0)为一个Petri网，M0为初始标识，t1,t2T。如果存在正整数k，使得MR(M0)，T*：M都有#(,ti)=0#(,t3-i)k,i=1,2则称变迁t1和t2处于公平关系。如果PN中任意两个变迁都处于公平关系，则称PN为公平Petri网。其中#(,ti)表示在序列中ti的出现次数。如果PN中不存在可发生的无限变迁序列，则网系统总是公平的。,公平性,定义2.10.设PN=(P,T;F,M0)为一个Petri网，M0为初始标识，t1,t2T。如果MR(M0)，都存在正整数k，使得T*：M都有#(,ti)=0#(,t3-i)k,i=1,2则称变迁t1和t2处于弱公平关系。如果PN中任意两个变迁都处于弱公平关系，则称PN为弱公平Petri网。,t2和t3是公平关系，也是弱公平关系,t2和t3是弱公平关系，但不是公平关系,公平性,定理2.4.Petri网中变迁之间的公平关系是一种等价关系证：公平关系的自反性和对称性是显然的。下面证明其传递性。设t1和t2处于公平关系，即存在k1，使得MR(M0)，T*：M都有#(,t1)=0#(,t2)k1#(,t2)=0#(,t1)k1把写成=0t21t22t23j-1t2j,jk1.显然#(i,t2)=0设t2和t3处于公平关系，即存在k2，使得MR(M0)，T*：M都有#(,t2)=0#(,t3)k2#(,t3)=0#(,t2)k2则由t2和t3的公平关系可知#(i,t3)k2，#(,t3)k2(j+1)k2(k1+1)k.其中k=maxk2(k1+1),k1(k2+1)即#(,t1)=0#(,t3)k同理可证#(,t3)=0#(,t1)k所以，t1和t3处于公平关系。,持续性,定义2.11.设PN=(P,T;F,M0)为一个Petri网。如果对任意MR(M0)和任意t1,t2T(t1t2)，有(Mt1Mt2M)Mt1则称PN为持续网系统。定理2.5.设PN=(P,T;F,M0)为一个持续网系统。对于任意MR(M0)，如果Mt1且M，#(,t1)=0，则有Mt1且Mt1。证明：对的长度进行数学归纳。,持续性,定理2.6.设N=(P,T;F)为一个纯网，那么PN=(N,M0)是持续网系统的充要条件MR(M0)，t1,t2T(t1t2)，t1和t2在M不存在冲突。,持续性,定理2.7.若N=(P,T;F)为一个T-图，则对N的任意初始标识M0，PN=(N,M0)都是持续网系统。证明：已知MR(M0)和任意t1,t2T(t1t2)，有(Mt1Mt2M)。并且t1t2=,t1t2=证明Mt1。,公平性实例,变迁序列：(t1t2t3t4)*k=1弱公平非公平，因为若选定某个k,则只要让p1中存储k+1个