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文档简介

从三个方面谈空间向量立体几何引入空间向量使得几何问题代数化，很多复杂的几何问题得以迎刃而解但不少学生对空间向量的学习把握不准确，不知道要掌握到什么程度，拓宽到什么程度本文从“转、基、法”三方面谈空间向量必须掌握之处，供参阅一、“转”“转”即转化，即向量之间的相互表示；难点在于怎样有效地用已知向量来表示未知向量正如三角函数求值中角的相互“转化”，怎样用已知角来代换未知角难点突破：寻找已知向量来表示所要求的向量往往立竿见影或者利用分析法，根据所要求证的向量来表示要转化的向量例1如图1，在空间四边形ABCD中，如果，求证：证明：由，得，即，取CD的中点E，连结AE和BE，则上式化为，得，即所以评注：要得到，需从条件中构造，解答中的移项使得构造得以实现二、“基”“基”即基底，由空间向量基本定理，可知空间任一向量可由不共面的三个向量来表示用基底的眼光看问题会使得空间向量的表示简洁明朗化例2已知正四面体，、分别为、的中点，求与所成角的余弦值解：设正四面体的棱长为1，如图2设，则，OE与BF所成的角的余弦值为评注：基底的取法还有很多，以，三向量为基底来表示其它向量，可使问题轻松获解三、“法”法向量求法：设，找平面内两相交向量a、b，再作，得两方程，三个未知量两个方程，一般通过取定z的值来定法向量，方向朝上，方向朝下法向量的应用：（一）利用平面法向量求线面角方法：如图3，AB为平面的斜线，n为平面的法向量如果与n之间所成的角为锐角，则斜线AB与平面之间所成的角为；若为钝角（当n方向朝另一面时，即与图3的n反向时），则故欲求斜线AB与平面所成的角，只需求出向量与平面的法向量n之间的夹角即可总之例3在长方体中，求直线和平面所成角的正弦值解：如图4，以D为原点，以方向分别作为x轴、y轴、z轴的正方向，则，设平面的法向量，则，即故是其中一组解，即为其中一个法向量，所以故所求角的正弦值为（二）利用平面法向量求二面角的平面角方法：如图5，平面的法向量所成的角即为二面角的平面角（或其补角）例4在正方体中，、分别是的中点，求平面和底面所成锐二面角的余弦值解：建立空间直角坐标系，如图6所示由例3的方法，容易求得平面的法向量，底面的法向量，所以，即为所求角的余弦值（三）利用平面法向量求点到平面的距离方法：如图7，求点P到平面的距离d，可以在平面上任意取一点，则（n为平面的法向量，方向如图）若不知n与夹角为锐角或钝角时，例5如图8，四面体中，、分别是BD、BC的中点，（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离（1）证明：连结OC，在中，由已知可得，而，即，平面；（2）解：以为原点，如图8建立空间直角坐标系设平面的法向量为，则令，得是平面的一个法向量又，点到平面的距离评注：求线面距、面面距时，可先转化为点面距，再用此法求解（四）求异面直线的距离方法：先求出同时与两异面直线垂直的向量n，然后在两异面直线上分别任取点、，则。例6已知正
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