高中数学一轮复习 第4讲 基本不等式及不等式的应用

第4讲 基本不等式及不等式的应用随堂演练巩固1.设x、y为正数,则的最小值为( ) A.9 B.12 C.15D.6 【答案】 A 【解析】 当且仅当y=2x时“=“成立. 2.若且x+2y=3,则的最小值为 ( ) A.2B. C.D. 【答案】 C 【解析】 当且仅当时,等号成立. 3.下列结论正确的是( ) A.当x0且时,lg B.当x0时 C.当时的最小值是2 D.当时无最大值 【答案】 B 【解析】 当且仅当即x=1时等号成立. 4.若R,且ab0,则下列不等式中,恒成立的是( ) A.B. C.D. 【答案】 D 【解析】 由ab0,可知a、b同号.当a0,b0时,B、C不成立;当a=b时,A不成立,由不等式的性质可知,D成立. 5.设R,且则的最小值为 . 【答案】 9 【解析】 . 课后作业夯基基础巩固1.若alga+lgb),R=lg则( ) A.RPQ B.PQR C.QPRD.PRlgb0,lga+lg即QP. 又ab1,. lglglga+lgb), 即RQ.PQR. 2.下列函数中,y的最小值为4的是( ) A. B.R) C.y=ee D.y=sin) 【答案】 C 【解析】 对于A,当x0时,最小值不存在且y0,排除A;B中当且仅当1时等号成立,这样的实数x不存在,故R)取不到最小值4,B错误;同理对于D,等号成立的条件为sin这也是不可能的;只有C,y=ee当且仅当e即x=ln2时等号成立,函数有最小值4. 3.(2020山东潍坊月考)已知则f(x)有( ) A.最大值为0 B.最小值为0 C.最大值为-4 D.最小值为-4 【答案】 C 【解析】 x0. 等号成立的条件是即x=-1. 4.“x0”是“”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】 A 【解析】 由x0知xyc恒成立的c的取值范围是( ) A.(0,10B.(0,10) C.(0,18D.(0,18) 【答案】 D 【解析】 a+b 当且仅当b=2a=12时,等号成立. c18. 又c为正数,0c0时 . 恒成立,. 9.当时,函数f(x)=log的图象恒过定点A,若点A在直线mx-y+n=0上,则的最小值是 . 【答案】 【解析】 由题意知点A(2,1),故2m+n=1. . 当且仅当即2m=n, 即时取等号. 的最小值为. 10.已知函数为常数,且p0),若f(x)在上的最小值为4,则实数p的值为 . 【答案】 【解析】 由题意得x-10当且仅当时,取等号,则解得. 11.设a,b,c都是正数,求证:. 【证明】 a,b,c都是正数,. 同理可证. 三式相加得 当且仅当a=b=c时取等号. 12.(1)求函数y=x(a-2x)(x0,a为大于2x的常数)的最大值; (2)当点(x,y)在直线x+3y-4=0上移动时,求表达式的最小值. 【解】 (1)x0,a2x, y=x 当且仅当时取等号,故函数的最大值为. (2)由x+3y-4=0得x+3y=4, 当且仅当且x+3y-4=0,即时等号成立. 13.已知lg(3x)+lgy=lg(x+y+1). (1)求xy的最小值; (2)求x+y的最小值. 【解】 由lg(3x)+lgy=lg(x+y+1)得 (1)x0,y0, . 即. . . 当且仅当x=y=1时,等号成立. xy的最小值为1. (2)x0,y0,. . 3(x+y)+2(x. 当且仅当x=y=1时取等号. x+y的最小值为2. 拓展延伸14.某单位用2 160万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房.经测算,如果将楼房建为层,则每平方米的平均建筑费用为560+48x(单位:元),为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层?(注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用 【解】 设将楼房建为x层,则每平方米的平均购地费用为. 每平方米的平均综合费用