高中数学古典概型苏教版必修3

古典概型让我们从一个熟知的故事说起齐国的大将田忌，很喜欢赛马，有一回，他和齐威王约定，要进行一场比赛他们商量好，把各自的马分成上，中，下三等比赛的时候，要上马对上马，中马对中马，下马对下马由于齐威王每个等级的马都比田忌的马强得多，所以比赛了几次，田忌都失败了田忌觉得很扫兴，比赛还没有结束，就垂头丧气地离开了赛马场，这时，田忌抬头一看，人群中有个人，原来是自己的好朋友孙膑孙膑招呼田忌过来，拍着他的肩膀说：“我刚才看了赛马，威王的马比你的马快不了多少呀”孙膑还没有说完，田忌瞪了他一眼：“想不到你也来挖苦我！”孙膑说：“我不是挖苦你，我是说你再同他赛一次，我有办法准能让你赢了他”田忌疑惑地看着孙膑：“你是说另换一匹马来？”孙膑摇摇头说：“连一匹马也不需要更换”田忌毫无信心地说：“那还不是照样得输！”孙膑胸有成竹地说：“你就按照我的安排办事吧”齐威王屡战屡胜，正在得意洋洋地夸耀自己马匹的时候，看见田忌陪着孙膑迎面走来，便站起来讥讽地说：“怎么，莫非你还不服气？”田忌说：“当然不服气，咱们再赛一次！”说着，“哗啦”一声，把一大堆银钱倒在桌子上，作为他下的赌钱齐威王一看，心里暗暗好笑，于是吩咐手下，把前几次赢得的银钱全部抬来，另外又加了一千两黄金，也放在桌子上齐威王轻蔑地说：“那就开始吧！”一声锣响，比赛开始了第一局，齐威王的马胜了；第二局，田忌的马胜了；第三局，还是田忌的马胜了最终，田忌以三局两胜赢了实力雄厚的齐威王这个故事太激动人心了，不仅轰动当时，而且流传至今亲爱的读者，你知道：从理论上讲，齐威王与田忌的对阵方案总共有几种呢？双方获胜的概率之比为多少呢？但齐威王又为何失败的呢？学了本节内容后，你就不难解释上述问题了学法建议 事实胜于雄辩！概率可以澄清事实决策需要民主，概率可以辅佐决策应用概率，可以趋利避害，服务生活概率需要用频率来估计，频率需要大量重复试验而得到但这种得到频率的方法，显得耗时、耗力也耗材而对于某一类特殊的随机试验，我们可以根据试验结果的对称性等可能性来确定随机事件发生的概率利用这种方法，我们能够在这类随机事件发生之前就预知其概率这种方法，就是本节所要研究的主要内容古典概型学习本节内容，要求能够理解等可能事件的意义，会把事件分解成等可能基本事件；能理解古典概型的特点，掌握等可能事件的概率计算方法一、知识网络古典概型概率特点等可能事件的概率计算每个等可能基本事件的概率定义有限性等可能性易错点提示 在应用古典概型的概率模型时，必须注意判断事件的等可能性与有限性，特别是判断等可能性例如，摸口袋中仅颜色不同的球是等可能的，但摸口袋中大小不同的球就不是等可能的；又如，将一枚硬币连掷3次，认为“三正、二正一反、一正二反、三反”为4个基本事件，则它们也是不等可能的事实上，“三正”只有1种可能，“二正一反”有3种可能，“一正二反”也有3种可能，而“三反”是1种可能故连掷3次硬币，应将基本事件总数定为8个，即：(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)，那它们将都是等可能事件二、知识归纳1基本事件在一次试验中可能出现的每一个基本结果称为基本事件若在一次试验中，每个基本事件发生的可能性都相同，则称这些基本事件为等可能基本事件对基本事件的理解应注意以下几点：基本事件是试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件可以用它们来表示；任何事件都可以表示成基本事件的和；任何两个基本事件间的交集均为空集例如，抛掷两枚硬币，随机事件“一正面一反面”便不能称为基本事件，因为按抛掷的先后顺序，还可能出现“先正后反”与“先反后正”的两个基本事件事实上，随机事件“一正面一反面”是两个基本事件“先正后反”与“先反后正”的和又如，抛掷两枚硬币，随机事件A为“两正”、B为“一正一反”，则它们便不是等可能事件，因为“两正”的可能只有一种情形，而“一正一反”的可能有两种情形另外，对于前者“两正”，可称为基本事件，而后者“一正一反”，便不能称为基本事件2古典概型满足如下两个条件的随机试验的概率模型称为古典概型：条件一：有限性所有的基本事件只有有限个；条件二：等可能性每个基本事件的发生都是等可能的不满足古典概型的两个特点的任何一个的随机试验，均不能构成古典概型例如，从规格直径为200mm0.4mm的一批合格产品中任抽一根，测量其直径d，则量值可能是从199.6mm到200.4mm之间的任何一个值，所有可能的结果有无限多个，这个试验便不是古典概型，因为它不满足有限性又如，从装有10个颜色相同但大小不同的球的口袋中摸球，该试验便不是等可能事件，因而它也不是古典概型3古典概型的概率计算如果一次试验的等可能基本事件共有n个，那么每一个等可能基本事件发生的概率都是如果某个事件A包含了其中m个等可能基本事件，那么事件A发生的概率为也就是说，古典概型的概率计算公式为 ：三、重点诠释从集合的角度看古典概型：在一次试验中，等可能出现的n个结果组成一个集合I，这n个结果就是集合I的n个元素，各基本事件均对应于集合I的含有1个元素的子集，包含m个结果的事件A对应于I的含有m个元素的子集A因此从集合的角度看，事件A的概率是子集A的元素个数（记作card(A)）与集合I的元素个数（记作card(I)）的比值，即潜能开发 例1某招呼站，每天均有3辆开往首都北京的分为上、中、下等级的客车某天小曹准备在该招呼站乘车前往北京办事，但他不知道客车的车况，也不知道发车顺序为了尽可能乘上上等车，他将采取如下决策：先放过第一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆 （1）共有多少个基本事件？ （2）小曹能乘上上等车的概率为多少？思路分析 可用枚举法找出所有的等可能基本事件解答（1）三类客车分别记为上、中、下则有如下的基本事件：上-中-下；上-下-中；中-上-下；中-下-上；下-上-中；下-中-上因此，基本事件总数为6个（2）小曹能乘上上等车的事件记为A，则A中包含上述事件中的：中-上-下；中-下-上；下-上-中，故IA图7-2-1P(A)= 例2 任取一正整数，求该数的平方的末位数是1的概率答 共有6个基本事件，能乘上上等车的概率为思路分析 对末位数的情形予以逐个儿的考虑解答一个正整数的平方的末位数字只取决于该正整数的末位数，它必然是0，1，2，9中的任意一个，因而基本事件为=1，2，3，9，共10个正整数的平方的末位数是1的事件A=1，9，共2个因为所有这些事件都是等可能基本事件，故由概率的计算公式得例3 将一个各面上均涂有颜色的正方体锯成n3(n3)个同样大小的正方体，从这些小正方体中任取一个，求下列事件的概率：（1）三面都涂有颜色；（2）恰有两面涂有颜色； （3）恰有一面涂有颜色；（4）至少有一面涂有颜色答 该数的平方的末位数为1的概率为思路分析 分别找出所求基本事件的个数解答基本事件总数应为n3（1）三面都涂色的有8个，即8个顶点处的小正方体，概率为；（2）两面涂色的为12条棱上的小正方体，每条棱上均有(n-2)个小正方体，故概率为；（3）恰有一面涂色的为6个面上的小正方体，每个面上均有(n-2)2个小正方体，故概率为；（4）至少有一面涂色的包括小正方体的个数为8+12(n-2)+6(n-2)2，即6n2-12n+8，于是概率为答 涂有三面、两面、一面、至少一面的概率分别为、 例4 甲、乙两人参加法律知识竞答，共有10道不同的题目，其中选择题6道，判断题4道，甲、乙两人依次各抽一题 （1）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少? （2）甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少?思路分析 这是一个古典概型的概率问题，关键是计算出公式中的m、n，然后直接应用公式进行求解解答 甲、乙两人从10道题中不放回地各抽一道题，先抽的有10种抽法，后抽的有9种抽法，故所有可能的抽法是109=90种即基本事件总数是90(1)记“甲抽到选择题、乙抽到判断题”为事件A甲抽选择题有6种抽法、乙抽到判断题有4种抽法，所以事件A的基本事件数为64=24P(A)= =(2) 甲、乙都抽到选择题有65=30种抽法；仅甲抽到选择题有64=24种抽法；仅乙抽到选择题有46=24种抽法故甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的种数有30+24+24=78种，故概率为例5口袋里装有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同4个人按顺序依次从中摸出一球试计算第二个人摸到白球的概率答 （1）的答案为；（2）的答案为思路分析 只需找出4个人按顺序依次摸球的所有可能结果数和第二个人摸到白球的可能结果数为此考虑用列举法列出所有可能结果解答用A表示事件“第二个人摸到白球”21把2个白球编上序号1，2，并分别表示为： ；212个黑球编上序号1，2，并分别表示为： 2121221221221221122112112112112111121122221222221112122121112121 图7-2-2于是，4个人按顺序依次从袋中摸出一球的所有可能结果，可用树状图直观地表示出来如图7-2-2所示从上面的树状图可以看出，试验的所有可能结果数为24由于口袋内的4个球除颜色外完全相同，因此，这24种结果的出现是等可能的，试验属于古典概型在这24种结果中，第二个人摸到白球的结果有12种，因此“第二个人摸到白球”的概率为： 答 第二个人摸到白球的概率为注也可以从另外一个角度来考虑这个问题，因为口袋里的4个球除颜色外完全相同，因此，可以对2个白球不加区别，对2个黑球也不加区别，这样建立的模型的所有可能结果数就会减少，由此得到另一解法：只考虑球的颜色，4个人按顺序依次从袋中摸出一球的所有可能结果可用树状图列举出来，如图7-2-3所示图7-2-3试验的所有可能结果数为6，并且这6种结果的出现是等可能的，这个模型是古典概型在这6种结果中，第二个人摸到白球的结果有3种，因此，“第二个摸到白球”的概率为：解题规律 古典概型的特点之一是它的有限性，也就是说，它的基本事件的总数是有限的，当这有限个数很小时，我们宜采用枚举法，把所有可能的等可能基本事件一一列举，同时列举所有要求的等可能基本事件运用上述办法，我们不难求得：开始我们所介绍的故事中，田忌赛马获胜的基本事件只有1种，而基本事件总数为6种，胜的概率为思维诊断 不宜把全体正整数作为基本事件的总体，否则计算就显得繁复或无从下手了在利用古典概型研究概率时，关键是找准基本事件总数与所求基本事件总数在找这些基本事件时，不能忘了对古典概型的两个特点的检验解题技巧 至少一面涂色的个数也可以这样计算：因为没有涂色的小正方体，恰好构成了边长为(n-2)的正方体，其个数为(n-2)3，于是至少有一面涂色的为n3-(n-2)3个还可以这样算：至少一面涂色的应为表面上小正方体的数目每个面有n2个，共6个面，但这里12棱上的小正方体重复计算了，故应减去12n，但这样又多减去了8个角上的小正方体8个，故至少一面涂色的小正方体为6n2-12n+8个总之，我们要善于从不同角度思考并解答问题感悟规律计算古典概型事件的概率可分三步：算出基本事件的总个数n； 求出事件A所包含的基本事件个数m； 代入公式求出概率P思维诊断 1要注意计算基本事件总数与事件A包含的基本事件个数时，要做到不重不漏.2含有“至多”、“至少”等类型的概率问题而需要计算基本事件个数时，从正面突破比较困难或者比较繁琐时，也可从反面考虑计数解题技巧 还可以这样解：图7-2-41211122212111222只考虑前两人摸球的情况，如图7-2-4所示，所有可能结果为12种，欲要的事件数为6种，故概率为也可这样解：只考虑第二个人摸出的球的情况，他可能摸到这4个球中的任何一个，这4种结果出现的可能性是相同的第二个人摸到白球的结果有2种，因此，“第二个人摸到白球”的概率为解题规律 从四种解法中可以看出，我们从不同的角度去考虑一个实际问题，可以将问题转化为不同的古典概型来解决，而所得到的古典概型的所有可能结果数越少，问题的解决就变得越简单你可以用我们提供的最后一种最简单的解法解决下列问题：100个人依次抓阄决定1件奖品的归属，求最后一个人中奖的概率3333f中中体验探究 一、 案例探究请你当一回公司老总抛掷骰子，是大家非常熟悉的日常游戏了某公司决定以此玩抛掷（两颗）骰子的游戏，来搞一个大型的促销活动“轻轻松松抛骰子，欢欢乐乐拿礼券”方案1：总点数是几就送礼券几十元总点数23456789101112礼券额2030405060708090100110120方案2：总点数为中间数7时的礼券最多，为120元；以此为基准，总点数每减少或增加1，礼券减少20元总点数23456789101112礼券额2040608010012010080604020方案3 总点数为2和12时的礼券最多，都为120元；点数从2到7递增或从12到7递减时，礼券都依次减少20元总点数23456789101112礼券额12010080604020406080100120如果你是该公司老总，你准备怎样去选择最佳促销方案?请你对以上三种方案给出裁决1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 图7-2-5第一次抛掷后向上的点数 第二次抛掷后向上的点数2 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 8 4 5 6 7 8 9 5 6 7 8 9 10 6 7 8 9 10 7 8 9 10 111112思路分析 利用图形的直观，求出抛出各点数和的概率，进而考虑所发放的礼券的多少解答由图可知，等可能基本事件总数为36种其中点数和为2的基本事件数为1个，点数和为3的基本事件数为2个，点数和为4的基本事件数为3个，点数和为5的基本事件数为4个，点数和为6的基本事件数为5个，点数和为7的基本事件数的和为6个，点数和为8的基本事件数为5个，点数和为9的基本事件数为4个，点数和为10的基本事件数为3个，点数和为11的基本事件数为2个，点数和为12的基本事件数为1个根据古典概型的概率计算公式易得下表：点数和23456789101112概率由概率可知，当点数和位于中间（指在7的附近）时，概率最大，作为追求最大效益与利润的老总，当然不能选择方案2，也不宜选择方案1，最好选择方案3另外，选择方案3，还有最大的一个优点那就是，它可造成视觉上与心理上的满足，顾客会认为最高奖（120元）可有两次机会，即点数和为2与12，中次最高奖（100元）也有两次机会，所以该方案是最可行的，事实上也一定是最促销的方案我们还可以从计算加以说明三个方案中，均以抛掷36次为例加以计算（这是理论平均值