高中数学古典概型-典型例题

古典概型-典型例题规律发现【例1】口袋里装有100个球，其中有1个白球和99个黑球，这些球除颜色外完全相同.100个人依次从中摸出一球，求第81个人摸到白球的概率.分析：只考虑第81个人摸球的情况.此法不难理解，因为每个人摸到白球的概率都相等，有100个球，而白球只有1个.解：只考虑第81个人摸球的情况.他可能摸到100个球中的任何一个，这100个球出现的可能性相同，且第81个人摸到白球的可能结果只有1种，因此第81个人摸到白球的概率为.【例2】100个人依次抓阄决定1件奖品的归属，求最后一个人中奖的概率.分析：这是日常生活中常见的问题，中奖与否与先抓后抓没有关系，每个人中奖与不中奖的概率都相同.解：只考虑最后一个人抓阄的情况，他可能抓到100个阄中的任何一个，而他摸到有奖的阄的结果只有一种，因此，最后一个人中奖的概率为.【例3】从含有两件正品a、b和一件次品c的3件产品中每次任取一件，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件是次品的概率.（1）每次取出不放回；（2）每次取出后放回.分析：问题的关键在于一种是不放回试验，一种是放回试验.不放回试验，取一件少一件；而放回试验，取一件后，再取一件时情况不变.通过列出所有基本事件解答比较直观易懂.（1）解法一：每次取出后不放回的所有可能结果有（a，b），（a，c），（b，a），（b，c），（c，a），（c，b），其中小括号内左边字母表示第一次取出的产品，右边字母表示第二次取出的产品，共有6个基本事件.其中有一件次品的事件有（a，c），（b，c），（c，a），（c，b），共4个基本事件.因此，每次取出后不放回，取出的两件产品中恰有一件次品的概率为.解法二：取出的两件产品中有一件次品，至于是第一次取出，还是第二次取出可不必考虑，则所有可能结果有（a，b），（a，c），（b，c），共3个基本事件；而恰有一件次品的基本事件有（a，c），（b，c），共2个.因此结果与解法一相同.（2）解：这是放回试验，第一次被取出的产品，第二次也可能被取出，由于最后关心的是两件产品中有一件次品，因此必须考虑顺序，则所有可能结果有（a，a），（a，b），（a，c），（b，a），（b，b），（b，c），（c，a），（c，b），（c，c），共9个基本事件，其中恰有一件次品的基本事件有（a，c），（b，c），（c，a），（c，b），共4个基本事件.因此每次取出后放回，取出的两件产品中恰有一件次品的概率为.若用前3种解法相当烦琐，而用解法4的方法问题则迎刃而解，且比较直观.这是古典概型，每个人中奖的概率相同，与第几个开始抓没有关系.建立概率模型，写出所有的基本事件，再写出某事件所含有的基本事件，问题就比较容易解答.每次摸出一球是有顺序的，（a，b）与（b，a）不同.可不考虑顺序，即（a，b）与（b，a）可认为相同.结果（a，a）在第（1）题不可能出现，由于是放回试验，在第（2）题中就有了可能.互斥事件规律发现【例1】从一箱产品中随机地抽取一件产品，设事件A=“抽到的一等品”，事件B=“抽到的二等品”，事件C“抽到的三等品”，且已知P（A）=0.7，P（B）=0.1，P（C）=0.05.求下列事件的概率.（1）事件D=“抽到的是一等品或二等品”；（2）事件E=“抽到的是二等品或三等品”.分析：事件A、B、C彼此互斥，且D=A+C，E=B+C.解：（1）D=A+C，且事件A和C互斥，P（A）=0.7，P（C）=0.05，P（D）=P（A+C）=P（A）+P（C）=0.7+0.05=0.75.（2）事件E=B+C，且事件B和C互斥，P（B）=0.1，P（C）=0.05，P（E）=P（B+C）=P（B）+P（C）=0.1+0.05=0.15.【例2】某学校成立数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39、32、33个成员，一些成员参加了不止1个小组，具体情况如右图所示.随机选取1个成员：（1）他至少参加2个小组的概率为多少?（2）他只参加1个小组的概率是多少?分析：至少参加2个小组是指参加2个小组或3个小组，其反面是只参加1个小组.解：设事件A=“只参加英语小组”，B=“只参加音乐小组”，C=“只参加数学小组”，D=“只参加英语、音乐小组”，E=“只参加英语、数学小组”，F=“只参加音乐、数学小组”，G=“参加了英语、音乐、数学3个小组”.（1）设事件M=“他至少参加2个小组”，则M=D+E+F+G.3个小组共有60人，且P（D）=，P（E）=，P（F）=，P（G）=，P（M）=P（D+E+F+G）=P（D）+P（E）+P（F）+P（G）=.（2）设事件N=“他参加不超过2个小组”，则=“他参加3个小组”=G.P（N）=1P（）=1P（G）=1.【例3】小明的自行车用的是密码锁，密码锁的四位数码由4个数字2、4、6、8按一定顺序构成.小明不小心忘记了密码中4个数字的顺序，试问：随机地输入由2、4、6、8组成的一个四位数，不能打开锁的概率是多少?分析：密码只有1个，由2、4、6、8能组成多少个不同的四位数呢?用树状图分析知有432=24（个）.解：设事件A=“由2、4、6、8组成的四位数不是开锁密码”，而由2、4、6、8组成的所有四位数有432=24个，且P（）=.P（A）=1P（）=1=，即小明随机地输入由2、4、6、8组成的一个四位数，不能打开锁的概率为.【例4】班级联欢时，主持人拟出了如下一些节目：跳双人舞、独唱、朗诵等.指定3个男生和2个女生来参与，把5个人分别编号为1、2、3、4、5，其中1、2、3号是男生，4、5号是女生.将每个人的编号分别写在5张相同的卡片上，并放入一个箱子中充分混合，每次从中随机地取出一张卡片，取出谁的编号谁就参与表演节目.（1）为了取出2人来表演双人舞，连续抽取2张卡片，求取出的2人不全是男生的概率；（2）为了取出2人分别表演独唱和朗诵，抽取并观察第一张卡片后，又放回箱子中，充分混合后再从中抽取第二张卡片，求：独唱和朗诵是由同一个人表演的概率；取出的2人不全是男生的概率.分析：为了得到从5张卡片中连续抽取2张的所有结果，利用树状图列出，所有情况直观显现，有助于下面问题的解决.在第（2）题中也可用树状图表示，由于它是放回抽取，也可用有序数组的方式一一列举出.解：（1）首先利用树状图列举所有可能结果如下：由图可看出所有可能结果数为20.每个结果出现的可能性相同，属古典概型.方法一：设A1=“2人中恰有1人是女生”，A2=“2人都是女生”，A=“2人不全是男生”，则A=A1+A2.由树状图易知P（A1）=，P（A2）=，且A1与A2是互斥事件，P（A）=P（A1+A2）=P（A1）+P（A2）=+=0.7，即连续抽取2张卡片，取出的2人不全是男生的概率为0.7.方法二：设事件A=“2人不全是男生”，则=“2人全是男生”，且P（）=0.3.P（A）=1P（）=10.3=0.7，即连续抽取2张卡片，取出的2个不全是男生的概率为0.7.方法三：不考虑抽取的顺序，即（a，b）与（b，a）相同，则所有可能结果有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5），共10种.易知这也属于古典概型.设事件A=“2人不全是男生”，则=“2人全是男生”，且P（）=0.3.P（A）=1P（）=10.3=0.7，即连续抽取2张卡片，取出的2人不全是男生的概率为0.7.（2）利用有序数组的方式列出所有结果为（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（4，1）， （4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），共25种.设事件A=“独唱和朗诵由同一个人表演”，则P（A）=0.2，即独唱和朗诵由同一个人表演的概率为0.2.设事件A=“有放回抽取，取出的两人不全是男生”，则=“有放回抽取，取出的两人全是男生”，且P（）=，P（A）=1P（）=1=0.64，即有放回地抽取2张卡片，取出的2人不全是男生的概率为0.64.【例5】10件产品中有两件次品，任取两件检验，求下列事件的概率（不放回抽取）.（1）至少有1件是次品；（2）最多有1件是次品.分析：可用树状图列出所有结果，从正面回答，不如从反面解决快捷.解：由树状图可知，共有90种可能结果.（1）设事件A=“至少有1件是次品”，则=“没有次品”，且P（）=.P（A）=1P（）=1，即至少有1件是次品的概率为.（2）设事件A=“最多有1件是次品”，则“2件都是次品”，且P（）=.P（A）=1P（）=1，即最多有1件是次品的概率为.利用互斥事件有一个发生的概率计算公式，首先确定是否是互斥事件.首先确定某个事件由哪些互斥事件组成，或确定它的对立事件，然后求出各事件的概率.把整个事件彻底分解，所求事件中有几个互斥事件则一目了然.也可用M的对立事件求，即P（M）=1P（）.用对立事件求比较简单.“打开锁”与“打不开锁”是对立事件，因此可用“打开锁”的概率表示“打不开锁”的概率.也可直接求P（A）=.要认真阅读题目内容，明确题目的条件和要求，这是解题的关键第一步.有多少种不同抽法，可用树状图表示.利用树状图进行列举是常用的方法.也可用有序数组列举：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，3），（2，4），（2，5），（3，1），（3，