微积分知识复习

重温微积分,2.曲线的切线斜率,曲线,在M点处的切线,割线MN的极限位置MT,(当时),割线MN的斜率,切线MT的斜率,牛顿(16421727),伟大的英国数学家,物理学家,天文,学家和自然科学家.,他在数学上的卓越,贡献是创立了微积分.,1665年他提出正,流数(微分)术,次年又提出反流数(积分)术,并于1671,年完成流数术与无穷级数一书(1736年出版).,他,还著有自然哲学的数学原理和广义算术等.,莱布尼茨(16461716),德国数学家,哲学家.,他和牛顿同为,微积分的创始人,他在学艺杂志,上发表的几篇有关微积分学的论文中,有的早于牛顿,所用微积分符号也远远优于牛顿.,他还设计了作乘法的计算机,系统地阐述二进制计,数法,并把它与中国的八卦联系起来.,定义1.,在点,存在,的偏导数，记为,的某邻域内,则称此极限为函数,极限,设函数,注意:,同样可定义对y的偏导数,若函数z=f(x,y)在域D内每一点(x,y)处对x,则该偏导数称为偏导函数,也简称为,偏导数,记为,或y偏导数存在,例1.求,解法1,解法2,在点(1,2)处的偏导数.,先求后代,先代后求,例2.设,证:,例3.求,的偏导数.,解:,求证,例2.设,证:,例3.求,的偏导数.,解:,求证,二、高阶偏导数,设z=f(x,y)在域D内存在连续的偏导数,若这两个偏导数仍存在偏导数，,则称它们是z=f(x,y),的二阶偏导数.,按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导,数:,例5.求函数,解:,注意:此处,但这一结论并不总成立.,的二阶偏导数及,第九章,一、方向导数,二、梯度,三、物理意义,方向导数与梯度,一、方向导数,定义:若函数,则称,为函数在点P处沿方向l的方向导数.,在点,处,沿方向l(方向角为,)存在下列极限:,记作,方向导数与偏导数有何关系？,1、偏导数存在能否推出沿任何方向的方向导数存在？,不能！,极限不存在！从而非坐标轴方向的方向导数不存在！,偏导数存在只能说明沿坐标轴方向的方向导数存在！,2、沿任何方向的方向导数存在能否推出偏导数存在？,不能！,定理:,则函数在该点沿任意方向l的方向导数存在,且有,例1.求函数,在点P(1,1,1)沿向量,3)的方向导数.,二、梯度,方向导数公式,令向量,1.定义,即,同样可定义二元函数,称为函数f(P)在点P处的梯度,记作,(gradient),在点,处的梯度,说明:函数的方向导数为梯度在该方向上的投影:,向量,其中,称为向量微分算子或Nabla算子.,备用题1.,函数,在点,处的梯度,解:,则,注意x,y,z具有轮换对称性,(1992考研),高斯公式,其中,为曲面,的外法线方向余弦,设向量场,定义向量场,的散度为：,则高斯公式可以写为,环流量与旋度,斯托克斯公式,设曲面的法向量为,曲线的单位切向量为,则斯托克斯公式可写为,引进一个向量,于是得斯托克斯公式的向量形式:,旋度.,rotation,重要公式：,从而,偏导数开三度:梯度、旋度、散度,梯度,散度,旋度,一统微积分，此式一出，谁与争锋，唯我独尊！,设,则,其中,为边界,的外法线