高中数学 考前归纳总结 圆锥曲线中的最值问题

圆锥曲线中的最值问题一、常见基本题型：（1）利用基本不等式求最值，例1、已知椭圆两焦点、在轴上，短轴长为，离心率为，是椭圆在第一 象限弧上一点，且，过P作关于直线F1P对称的两条直线PA、PB分别交 椭圆于A、B两点，求PAB面积的最大值。解、设椭圆方程为，由题意可得 ， 故椭圆方程为 设AB的直线方程：. 由，得， 由，得P到AB的距离为，则 。 当且仅当取等号， 三角形PAB面积的最大值为。（2）利用函数求最值，例2.如图，椭圆的焦点在x轴上，左右顶点分别为，上顶点为B，抛物线分别以A,B为焦点，其顶点均为坐标原点O，与相交于直线上一点P.（1）求椭圆C及抛物线的方程；（2）若动直线与直线OP垂直，且与椭圆C交于不同 的两点M,N，已知点，求的最小值. 解：（1）由题意， 故抛物线C1 的方程可设为，C2的方程为 由 得 所以椭圆C:，抛物线C1：抛物线C2： （2）由（1）知，直线OP的斜率为，所以直线的斜率为 设直线方程为 由，整理得 因为动直线与椭圆C交于不同两点，所以 解得 设M（）、N（），则 因为 所以 因为，所以当时，取得最小值 其最小值等于 例3、已知抛物线的焦点为，抛物线上一点的横坐标为 ，过点作抛物线的切线交轴于点，交轴于点，交直线 于点，当时， （1）求证：为等腰三角形，并求抛物线的方程； （2）若位于轴左侧的抛物线上，过点作抛物线的切线交直线于点， 交直线于点，求面积的最小值，并求取到最小值时的值 解：(1)设，则切线的方程为， 所以， 所以， 所以为等腰三角形 且为中点，所以， ，得，抛物线方程为 （2）设，则处的切线方程为 由， 同理， 所以面积 设的方程为，则 由，得代入得： ，使面积最小， 则，得到 令，由得， 所以当时单调递减；当单调递增， 所以当时，取到最小值为，此时， 所以，即。 二、针对性练习 1、已知椭圆.过点作圆的切线交椭圆G于A,B两点. 将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值. 解：由题意知，. 当时，切线的方程为，点A,B的坐标分别为， 此时； 当时，同理可得； 当时，设切线的方程为. 由得. 设A,B两点的坐标分别为. 又由与圆相切，得，即. 所以 . 由于当时， ， 当且当时，.所以|AB|的最大值为2. 2.如图，轴，点M在DP的延长线上，且当点P在圆上运动时。 （I）求点M的轨迹C的方程； （）过点的切线交曲线 C于 A，B两点，求AOB面积S的最大值和相应的点T的坐标。 解:设点的坐标为，点的坐标为， 则，所以， 因为在圆上，所以 将代入，得点的轨迹方程C的方程为 （）由题意知， 当时，切线的方程为，点A、B的坐标分别为 此时，当时，同理可得； 当时，设切线的方程为 由得 设A、B两点的坐标分别为，则由得： 又由l与圆相切，得即 所以因为且当时，|AB|=2，所以|AB|的最大值为2依题意，圆心到直线AB的距离为圆的半径， 所以面积， 当且仅当时，面积S的最大值为1， 相应的的坐标为或者3.已知焦点在轴上的椭圆C1：=1经过A(1，0)点，且离心率为 (I)求椭圆C1的方程； ()过抛物线C2：(hR)上P点的切线与椭圆C1交于两点M、N，记线段MN与 PA的中点分别为G、H，当GH与轴平行时，求h的最小值 解：（）由题意可得， 解得， 所以椭圆的方程为 . （）设，由 ， 抛物线在点处的切线的斜率为 , 所以的方程为 代入椭圆方程得 ,化简得 又与椭圆有两个交点，故 设，中点横坐标为，则, 设